15 de mai de 2017

REGRAS DOS SINAIS


OPERAÇÕES COM NÚMEROS INTEIROS



Observação: A mesma regra da adição serve para a subtração:

ADIÇÃO

(+) + (+) = +  Sinais iguais, soma-se e conserva o sinal.
(+7) + (+9) = + 16

(-7) + (-9) =  - 16



(+) + ( - ) = Sinais diferentes, subtrai-se e conserva o sinal do maior módulo.
(+7) + (- 9) = - 2
+7 - 9 = - 2     tirando do parêntese 

(- 7) + (+ 9) = + 2
-7 + 9 = +2  tirando do parêntese

SUBTRAÇÃO

(+) - (+) =  Sinais diferentes subtrai-se e conserva o sinal do maior módulo
(+7) - (+9) = - 2

+7 - 9 = - 2   tirando do parêntese


(+) - ( -) = Sinais iguais soma-se e conserva o sinal.
(+7) - (- 9)  = + 16

+7 + 9 = +16    sem os parêntese

(-7) + (- 9) = - 16
-7 - 9 = - 16






Observação: A mesma regra da Multiplicação serve também para a Divisão

MULTIPLICAÇÃO

( + ) . ( + ) = + sinais iguais, resultado será um número inteiro positivo.
(+6) . (+5) = + 30

(-6) . (-5 ) = + 30

(+) . (-) = - sinais diferentes, resultado será um número inteiro negativo.
(+6) . (-5) = -30

(-6) . (+5) = -30


DIVISÃO

( + ) : ( + ) = + sinais iguais, resultado será um número inteiro positivo.
(+60) : (+5) = +12

(-60) : (-5 ) = +12

(+) : (-) = - sinais diferentes, resultado será um número inteiro negativo.
(+60) : (-5) = -12

(-60) : (+5) = -12



RESUMO


ADIÇÃO/SUBTRAÇÃO

Sinais iguais somam-se e conserva o sinal.

+25 + 87 = + 112

- 25 – 87 = - 112

Sinais diferentes subtraem e conservam o sinal do maior módulo. 

- 25 + 87 = + 62

+ 25 – 87 = - 62


MULTIPLICAÇÃO / DIVISÃO

Sinais iguais, o resultado vai ser positivo.
(+ 36) x ( + 6) = + 216

( - 36) : ( -6) = + 6

Sinais diferentes, o resultado vai ser negativo.
( + 36) x ( - 6) = - 216

( - 36) : ( +6) = - 6



Agora é a sua vez:

1) Calcule:
a) (+25) + (+ 47) =
b) ( - 23) + (+37) =
c) ( - 48) + (+ 14) =
d) ( - 3) . ( - 15) =
e) ( + 9) . ( - 8) =
f) (+ 5) . ( + 76) =
g) (- 27) : ( -3) =
h) ( +49) : ( - 7) =

8 de mai de 2017

SOLUÇÕES DE PROBLEMAS USANDO O TEOREMA DE PITÁGORAS

Este exercícios se encontram no livro: " A Conquista da Matemática 9º ano".

1) O portão de entrada de uma casa tem 4 m de comprimento e 3 m de altura. Qual a medida da trave de madeira que se estende do ponto A ao ponto C, conforme a indicação da figura?








2) Um terreno tem a forma do quadrilátero ABCD, conforme a figura abaixo. Uma medição feita nesse terreno mostrou, em metros, as medidas indicadas. Fazendo,qual é o perímetro desse terreno?







3) Durante um incêndio em um edifício residencial, os bombeiros utilizaram uma escada Magirus de 10 m para atingir a janela de um dos apartamentos incendiados. A escada estava colocada a 1 m do chão, sobre um caminhão que se encontrava afastado 6 m do edifício. Qual é a altura desse apartamento em relação ao chão? 






RESPOSTAS:

OBS: Antes devemos lembrar o que diz o teorema de Pitágoras com relação aos triângulos retângulos.

O quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos.

Triângulo Retângulo é aqueles que possui um ângulo reto.
Chama-se de hipotenusa o lado do triângulo oposto ao ângulo reto.
Os demais lados são chamados de catetos.


1) Vejamos pelo desenho que a trave do portão forma dois triângulos.
Dados da questão:
4 metros de comprimento
3 metros de altura
Quanto mede a trave. ( representamos a trave por x, que nesse caso trata-se da hipotenusa)

x2 = 42 + 32     ( resolvendo as potências)

x2 = 16 + 9     ( resolvendo a adição)

x2 = 25       ( transformando essa potencia numa raiz )


 ( tirando a raiz)

Portanto a trave mede 5 metros.


2)
Dados da questão:
Lados:
AB = 12 metros
CD = 20 metros
AD = ?
BC = ?
Qual o perímetro?

Para encontrar o perímetro é necessário ter os valores dos lados, isto é, quanto mede cada lado do terreno.
Observe a linha que divide o terreno em dois triângulos retângulos.
Em relação ao triângulo ABD, essa linha representa a hipotenusa. Sendo assim vamos encontrar o valor do lado AD.

122 + x2 = 202

144 + x2 = 400

x2 = 400 – 144

x2 = 256

O lado AD mede 16 metros.

Calculando o lado BC, Observe que nesse caso BC é a hipotenusa em relação ao triângulo BCD

 x2 = 202 + 202

 x2 = 400 + 400

 x2 = 800



Lembre que na questão diz que podemos usar 1,4 no lugar da raiz de 2.
20 . 1,4 = 28

O lado BC mede 28 metros.

Já temos os valores de todos os lados. Podemos calcular o perímetro.

AB = 12 m         BC = 28 m     CD = 20 m  e DA = 16 m

12 + 28 + 20 + 16  = 76 metros

O perímetro desse terreno mede 76 metros.



3) 
Dados:
10 metros a altura da escada
6 metros de distância do prédio
1 metro de distância do chão.

A hipotenusa representa o lado indicado pela escada

x2 + 62 = 102

 x2 + 36 = 100

 x2 = 100 – 36

x2 = 64


Lembrado que tem mais 1 metro de distância, sendo assim:
8 + 1 = 9 
Logo a altura do edifício é de 9 metros.





(Fonte: A Conquista da Matemática 9º ano. p. 253. São Paulo-2009, 1ª ed. FTD)

21 de abr de 2017

COMO CALCULAR PORCENTAGENS COM CALCULADORA

Nas escolas geralmente são proibidas o uso da calculadora nas aulas de Matemática para fazer determinados cálculos. Porém, ao sai da escola o aluno se ver diante de determinadas situações em que o uso da calculadora é um instrumento indispensável na hora de fazer pequenos cálculos. No comércio, por exemplo, um vendendo pode até saber fazer determinados cálculos de cabeça, como regra de três simples, porém, o tempo que ele vai levar para fazer um determinado calculo é bem maior do que se ele usasse uma calculadora.

Mas tem um, porém, vai que esse vendedor nunca usou uma calculadora para isso? A escola nunca se deu ao trabalho de ensinar.

Hoje em dia existe no mercado diversos tipos de calculadoras. Não importa se ela é simples ou complexa, todas elas servem para fazer cálculos simples de porcentagens.


  

COMO CALCULAR PORCENTAGENS COM A CALCULADORA. 


Antes devemos lembrar de alguns conceitos básicos de porcentagens.

100%  corresponde ao todo ( o total )

Exemplo; 
Um determinado objeto custava em uma loja R$ 40,00 teve um desconto de 10%. Qual o preço deste objeto com o desconto?

100%           40,00
10%               x

Nesse caso o aluno usava a regra de três simples para encontrar o valor do desconto, e depois fazia uma outra operação para encontra a resposta final.

R$ 4,00 foi o desconto que foi dado. Falta  calcular o novo valor do objeto.
40 - 4 = 36

Logo o valor final é de R$ 36,00.


Fazendo o mesmo cálculo com a calculadora:


Lembre que 10% pode ser escrito assim:


10% foi o desconto dado, ele não quer saber de quanto foi esse desconto, e sim qual o valor do objeto depois do desconto. Subtraia 100 de 10 para encontra o valor a ser usado para fazer esse calculo.
100% - 10% = 90%


Vamos usar 90% para calcular o preço do objeto. (0,90 é chamado de fator de multiplicação).

Digite 40,  
digite x ( sinal de multiplicação), 
digite 0,90
aperte em = ( sinal de igualdade).

40 x 0,90 = 36



Usando a tecla de porcentagem % para fazer o mesmo calculo.
Digite 40
digite x
digite 90
aperte a tecla de %

40 x 90% = 36

Valor desse objeto com o desconto é de R$ 36,00

Outros exemplos:


a) Uma certa mercadoria custa R$ 1700,00 a prazo e 12% de desconto à vista. Qual o preço desta mercadoria com desconto?

100 - 12 = 88
Usando a calculadora sem a tecla de %
Digite 1700,  
digite x  
digite 0,88
aperte em = 
1700 x 0,88 = 1496



Usando a calculadora com a tecla de %
Digite 1700
digite x
digite 88
aperte a tecla de %
1700 x 88% = 1496


O valor da mercadoria com o desconto é de R$ 1496,00




b) Um livro que custava R$ 140,00 foi vendido numa liquidação com abatimento de 20%. Qual foi o valor do abatimento?
Observe que nesse caso ele não quer saber o valor do livro com o desconto, mas de quanto foi esse desconto.

20% = 0,20  ou simplesmente 0,2

 Usando a calculadora sem a tecla de %
Digite 140,  
digite x  
digite 0,20
aperte em = 
140 x 0,20 = 28



Usando a calculadora com a tecla de %
Digite 140
digite x
digite 20
aperte a tecla de %
140 x 20% = 28


O desconto foi de R$ 28,00



10 de abr de 2017

RAIZ QUADRADA APROXIMADA DE NÚMERO RACIONAL

Para o aluno calcular raiz quadrada de número racional, cuja raiz não é exata, existe várias técnicas das quais irei abordar algumas e tentar mostrar para o aluno aquelas mais segura, já que todas elas dar como resultado um número aproximado, ou para mais ou para menos. Uma outra maneira mais prática e mais rápida seria através do uso da calculadora.

1ª técnica por tentativa:


Nessa técnica o aluno vai usar a técnica de tentativa baseado naquilo que ele já aprendeu.

Exemplos:
a)Qual a raiz quadrada de 10?




A primeira coisa é procura um número aproximado de 10 que tenha raiz exata. Nesse caso 9 tem raiz exata. A raiz de 9 é 3.

Sabemos que 3 elevado ao quadrado é 9. Portanto, 3 não é a resposta.
Depois 3 colocamos uma vírgula e acrescentamos números, e fazemos o cálculo para verificar a resposta. Observe abaixo:

(3,1)2 = 3,1 . 3,1 = 9,61

(3,2)2 = 3,2 . 3,2 = 10,24

3,1 é o valor aproximado se a questão pede apenas com uma casa decimal essa seria a resposta.

Caso a questão peça com duas, três ou mais casas decimais, iremos continuar tentando.

(3,1)2 = 3,1 . 3,1 = 9,61
(3,11)2 = 3,11 . 3,11 = 9,6721
(3,12)2 = 3,12 . 3,12  = 9,7344
(3,13)2 = 3,13 . 3,13 = 9,7969
(3,14)2 = 3,14 . 3,14 = 9,8596
(3,15)2 = 3,15 . 3,15 = 9,9225
(3,16)2 = 3,16 . 3,16 = 9,9856  ( observe que foram preciso seis tentativas)
(3,17)2 = 3,17 . 3,17 = 10,0489 ( passou não serve).




b)Qual a raiz quadrada de 150?


A primeira coisa é procura um número aproximado de 150 que tenha raiz exata. Nesse caso 144 tem raiz exata. A raiz de 144 é 12.
Depois do 12 colocamos uma vírgula e vamos acrescentado alguns valores.

(12)2 = 12 . 12 = 144
(12,1)2 = 12,1  .  12,1 = 146,41
(12,2)2 = 12,2  .  12,2 = 148,84 (com uma casa decimal)
(12,3)2 = 12,3  .  12,3 = 151,29

Continuando os cálculos duas casas decimais:
(12,21)2 = 12,21  .  12,21 = 149,0841
(12,22)2 = 12,22  .  12,22 = 149,3284
(12,23)2 = 12,23  .  12,23 = 149,5729
(12,24)2 = 12,24  .  12,24 = 149,8176 (Resposta com duas casas decimais)
(12,25)2 = 12,25  .  12,25 = 150,0625


2ª técnica por comparação:


Nesta técnica vamos comparar dois números que tem raiz exata um abaixo do número dado, isto é, 19 e outa acima deste número.


Exemplos: 
a) Qual a raiz quadrada aproximada de 19?



A raiz de 16 é 4 começamos por essa, colamos vírgula e acrescentamos números igual ao outro processo.
(4,1)2 = 4,1 . 4,1 = 16,81
(4,2)2 = 4,2  .  4,2 = 17,64
(4,3)2 = 4,3  .  4,3 = 18,49    (com uma casa decimal)
(4,4)2 = 4,4  .  4,4 = 19,36  ( não serve, passou)

Com duas casas decimais
 (4,3)2 = 4,3  .  4,3 = 18,49
(4,31)2 = 4,31  .  4,31 = 18,5761
(4,32)2 = 4,32  .  4,32 = 18,6624
(4,33)2 = 4,33  .  4,33 = 18,7489
(4,34)2 = 4,34  .  4,34 = 18,8356
(4,35)2 = 4,35  .  4,35 = 18,9225
(4,36)2 = 4,36  .  4,36 = 19,0096



3ª técnica método de Herão de Alexandria:

Em que consiste esse método? 
Consiste em o aluno encontrar dois números que multiplicados entre si seja igual ao número estudado. Porém, esse método só calcula a raiz aproximada com uma casa decimal, e o aluno terá mais probabilidade de errar.


Exemplos: 
a) Qual a raiz quadrada de 12.
Usando o método de Harão





12 = 1 . 12
12 = 2 . 6
12 = 3 . 4

Veja que nesse caso qualquer um podia ser a raiz de 12, baseado nesse método.

Quando você soma os resultado encontrados e divide por 2 veja no que dar:

1 + 12 = 13 e divide por 2 vai dar 6,5  ( não serve)
2 + 6 = 8 dividindo por 2 é 4 ( não serve)
3 + 4 = 7 dividindo por 2 é 3,5 Valor aproximado.

Usando uma calculadora verificamos que a resposta seria 3,4 com uma casa decimal. Esta errado essa resposta? Não esta errado, porque a próxima casa decimal é 6, sendo assim podemos arredonda para cima.


b) Qual raiz quadrada de 72?

72 = 1 . 72
72 = 2 . 36
72 = 3 . 24
72 = 4 . 18
72 = 6 .  12
72 = 8 . 9

Veja que qualquer um nesse poder ser a raiz de 72.
Destas tentativas apenas o último vai ser a resposta.





Observação:

Porém, esse método não serve para calcular raiz quadrada de qualquer número. Vejamos o exemplo. Qual a raiz aproximada de 10?

10 = 1 . 10
10 = 2 . 5

1 + 10 = 11   (11 dividido por 2 igual a 5,5)
2 + 5 = 7       (7 dividido por 2 é igual a 3,5)

E na verdade sabemos que a raiz aproximada de 10 é 3,1



23 de mar de 2017

RAIZ QUADRADA EXATA-EXERCÍCIOS

1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:
a) 100              b)  144              c) 400            d) 900                  e) 441


2)Calcule:
                         







SOLUÇÃO:

Observação: existem várias maneiras de se calcular a raiz quadrada exata de um número. Na resolução do exercícios vamos usar apenas duas. Uma pelo método da fatoração, e o outra é um atalho prático e mais rápido.
1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:

a) 100
















Organizando os dados após a fatoração:

22 . 52     depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:

 Portanto, a raiz quadrada de 100 é 10.




 b)  144














Organizando os dados após a fatoração:

22 . 22 . 32    depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:

Portanto, a raiz quadrada de 144 é 12.




c) 400



















d) 900  





















e) 441





















Observação:
Vejamos estes mesmos exercícios usando outra técnica:

1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:
a) 100              b)  144              c) 400            d) 900                  e) 441



Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz de zero. Sabemos que raiz de zero é zero. logo a raiz de 100 é 10.


 

Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz do outro 4 que é 2. logo a raiz de 144 é  12.





Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de zero  que é 0. logo a raiz de 400 é  20.





Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 9, que nesse caso é o próprio 3. Calcule a raiz de zero  que é 0. logo a raiz de 400 é  30.





Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de 1  que é 1. logo a raiz de 400 é  21.






2)Calcule:
Vamos usar a segunda técnica para encontra a solução:





Elimine o zero. Calcule a raiz de 23.
Sabemos que 23 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 23 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 .
Agora falta  o último número.
Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta.

Organizando:
baixe o 4 e o 2
42
Mais uma vez baixe o 4 e pergunte para o 2 quanto falta para 10. (Veja que para 10 esta faltando 8)
48

A resposta pode ser  42  ou  48.
Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo.

422 = 1764
482 = 2304   ( resposta 48)

Outra maneira de fazer a mesma verificação:
Baixe 4 e multiplique pelo seu consequente, nesse caso é 5.
4 . 5 = 20

Iguale o  23 do radicando com o 20 que você achou e pegunte quem é o maior.

23   >    20

Como 48 é maior vai ser a resposta procurada.

Logo a raiz de 42304 é  48.



        






Elimine o zero. Calcule a raiz de 25  é 5. A raiz quadrada de zero é 0.
Resposta:a raiz quadrada de 2500 é  50.




     






Elimine o 6. Calcule a raiz de 17.
Sabemos que 17 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 17 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 .
Agora falta  o último número.
Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta.

Vejamos 2 para 10 esta faltando 8.
Sendo assim, a resposta vai ser 42  ou  48.
Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo.

422 = 1764
482 = 2304

A raiz quadrada de 1764 é 42.

4 . 5 =20
17   <    20    quem é o menor ( resposta 42)

 






Elimine o 6. Calcule a raiz de 39.
Sabemos que 39 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 39 que tenha raiz exata. 36 é o número mais próximo. E a raiz de 36 é 6 .
Agora falta  o último número.
Sabemos que a raiz de 9 é 3, mas essa pode não ser a resposta.

Vejamos 3 para 10 esta faltando 7.
Sendo assim, a resposta vai ser 63  ou  67.
Para isso é só elevar 63 ao quadrado e 67 ao quadrado e fazer o calculo.

632 = 3964
672 = 4489
A raiz quadrada de 3964 é 63.  



6 . 7 = 42

39 < 42   ( quem é o menor, resposta 63).

Esta segunda maneira é mais rápida e prática.

3 de mar de 2017

RAIZ QUADRADA DE NÚMEROS GRANDES


Raiz quadrada de números grandes por agrupamento.
Este método já foi muito usado no passado, hoje quase não se ver o uso dele nas escolas por parte de alguns professores ou por livros didáticos.

Antes vamos lembrar o que seja raiz quadrada. Vamos dizer uma área  tenha 144 metros quadrado, eu quero descobrir quanto mede o lado desse quadrado, para isso eu calculo a raiz quadrada de 144, que nesse caso é 12.


A raiz é um número que multiplicado por ele mesmo é igual ao número que esta dentro do radicando.
Vejamos: 12 . 12 = 144, ou seja, 122 = 144


Vejamos alguns exemplos de raiz quadrada extra.
1=1 pois 1=1
4=2 pois 22=4
9=3 pois 32 =9
16=4 pois 4=16
25=5 pois 52 =25
36 = 6 pois 62=36
49=7 pois 72 =49
64=8 pois 82 =64
81=9 pois 92=81
100=10 pois 102 = 100



Há várias técnicas que pode ser usada para calcular uma raiz quadrada.


1ª Dica:

Fatoração: É a mais usada nas escola.

2ª Dica: 

Por agrupamento: No passado já foi muito usado.

3ª Dica:

Por aproximação, o aluno faz várias tentativas até chegar o resultado.

4ª Dica:

Algo mais recente, tratar-se de um atalho, muito prático.





Por agrupamento

Esse método serve também para calcular raiz quadra não extra. 

Em primeiro lugar vamos agrupar os números da direita para esquerda de dois em dois, o último número pode ficar sozinho não há problema.

Começamos o cálculo pelo o número que ficou na esquerda. 

Procurando a raiz quadrada desse número, o mais próximo possível. Vejamos os exemplos abaixo. 

No exemplo a  o 3 não tem raiz quadrada exata.
O número mais próximo de 3 que elevado ao quadrado é 1.


a) Qual a raiz quadrada de 3045025?










b) Qual a raiz quadrada de 8254129?