29 de fev de 2016

ESCALONAMENTO DE SISTEMAS

Já estudamos sistema de equação com duas incógnitas na 6ª série (7° ano). No Ensino médio usamos a Regra de Cramer para resolver, isto é, quando o sistema tem duas ou três incógnitas. Porém, quando o sistema é formado por três ou mais equações, se faz necessário buscar um outro processo menos trabalhoso.

Como resolver sistema usando o método do escalonamento:
1. arrumando o sistema: colocar para cima a equação que o coeficiente seja 1.
2. zera a primeira incógnita, da segunda equação.
3. zera a segunda incógnita da segunda equação. 
Fazer até a última equação.

Vejamos o exemplo:




Observe que a 1ª equação a primeira a incógnita é 1. sendo assim não precisa mexe no sistema.
para zera a segunda incógnita, multiplicamos a 1ª equação por -2, ficando assim;

x + 2y - 2z = -5  (-2)
- 2x -4y + 4z = 10     arrumando o sistema com a mudança. 






Observe no novo sistema que podemos agora zera a primeira incógnita, somando a 1ª equação com a 2ª equaçã, ficando assim;
ox - 7x + 5z = 19







Para zera o x na 3ª equação multiplicamos a primeira equação (original) por -3

x + 2y - 2z = -5  (-3)
- 3x -6x + 6z = 15    somando com a 3ª equação do sistema.

ox -7y + 9z = 23     vejamos como ficou o novo sistema.






Agora precisamos eliminar o -7y da terceira equação. Para isso é só multiplicar a 2ª equação por-1
e somar com a 3ª equação.
-7y + 5z = 19     (-1)

7y -5z = -19   somando com a 3ª equação ficando
0y + 4z = 4

Vejamos como ficou finalmente o sistema:
Agora é só calcular o valor de cada incógnita.
Substitui o valor de z na 2ª equação para encontrar o valor de y.
-7y + 5z = 19
-7y + 5.1=19
-7y + 5 = 19
-7y = 19-5
-7y=14

Substitui os valores encontrados de z e y na 1ª equação para encontrar o valor de x.
x+2y-2z=-5
x+ 2.(-2) - 2.1=-5
x - 4 -2 = -5
x -6 = - 5
x = -5 + 6
x = 1

V={(1, -2, 1)}



Exemplo:



Solução:

I-A 2ª equação jogo para cima, ocupando o lugar da 1ª.





II- Multiplicando a 1ª equação por (-2) e o resultado adiciono a 2ª equação, para anular o 2x da 2ª equação.
-2x -2y - 4z = -6
2x + 2y +3z = 5
               -z = - 1






Observe que nesta primeira operação anulamos na 2ª equação x e y.

III- Multiplicando mais uma vez a 1ª equação por (-3)  e o resultado adiciono a 3ª equação para anular o 3x.
-3x - 3y - 6z = -9
3x + 4y + 2z = 0
          y  - 4z = -9

IV- Multiplicando a 2ª equação por (-4)  e o resultado adicionando com a 3ª equação para anular -4z.






   4z = 4
y-4z = -9
y      = - 5

Como já encontramos os valores de y = - 5 e z = 1, vamos substituir esses valores em qualquer equação do sistema para encontrar o valor de x.

x + y + 2z = 3
x - 5 + 2 = 3
x  - 3 = 3
x = 3 + 3
x = 6

V= [( 6, -5, 1 )]



Exemplo:





Primeira operação eliminando 4x da 2ª equação.





Segunda operação eliminando x na 3ª equação.





Terceira operação eliminando o 2y da 3ª equação.





Encontrando o valor de z e substituindo na 2ª equação para encontrar o valor de y.

















Substituindo os valores encontrados em qualquer equação para encontrar o valor de x.
x + y + z = 6
x + 2 + 3 = 6
x + 5 = 6
x= 6 - 5
x= 1

V=[(1, 2, 3)]

Bons estudos para todos que os alunos do Ensino Médio 


17 de fev de 2016

EXERCÍCIOS: CÁLCULO ALGÉBRICO

1) Determine o valor numérico de cada expressão algébrica:
2) Carla resolveu 20 testes. Para cada acerto, ela ganhou 5 pontos e, para cada erro, perdeu 2 pontos. quantos acertos e quantos erros Carla teve se ela teve 72 pontos no final?

RESPOSTAS:



























































2)
Observação: O aluno pode resolver questões desse tipo, de duas maneiras diferentes. Uma é montando um sistema. Vamos resolver esta questão usando as duas maneiras.

1ª resolução:

Dados
Resolveu  20 testes
Para cada questão certa ganha 5 pontos
Para cada questão errada perde 2 pontos.
Ganhou 72 pontos
X números de questões.

5x - 2. (20 - x ) = 72     resolvendo a distributiva
5x - (40 - 2x) = 72       multiplicando o sinal de fora com o sinal de dentro e eliminando os parêntesis
5x - 40 + 2x = 72         jogando o termo independente para o segundo membro alterando o sinal
5x + 2x = 72 + 40        somando os termos
7x = 112                       jogando o 7 para o segundo membro e efetuando a divisão






16 é o número de questões acertada por Carla.
 20 - x
20 - 16 = 4

4 é o total de questões que Carla errou.

Conferindo:
Para conferir é só substituir na equação os valores encontrados

5x - 2. (20 - x ) = 72
5.16 - 2. (20 - 16 ) = 72
80 - (40 - 32) = 72
80 - 40 + 32 = 72
40 + 32 = 72
72 = 72

2ª Resolução:

Dados
Resolveu  20 testes
Para cada questão certa ganha 5 pontos
Para cada questão errada perde 2 pontos.
Ganhou 72 pontos
X números de questões.

Montando um sistema de equação do 1º grau:
x número de questões certas
y números de questões erradas





O aluno pode usar qualquer método. Vamos usar o método da adição para isso multiplicamos a 1ª equação por 2. ficando assim o novo sistema.






Somando os termos:










16 questões que Carlas acertou.

Para encontrar o valor de y é só pegar qualquer uma das equações e substituir o valor de x por 16.
x + y = 20
16 + y = 20
y = 20 - 16
y = 4

4 questões que Carla errou.

3 de fev de 2016

LOGARITMO - RESUMO

Dois números reais e positivos, chamamos esses números de a e b, com a diferente de 1.
Sendo b na base a, e o expoente x.       ax = b




  



Significados das letras:



a é base
b é  logaritmando
x é o logaritmo






Exemplos:

Log2 16 = 4  
base a, no caso 2
logaritmando ou antilogaritmo b, no caso 16
logaritmo x, no caso 4 

a) Calcular o logaritmo de 49 na base 7.

Solução:
log7 49 = x  
   7x = 49           ( fatorando 49)
   7x = 72               ( igualando o x)
     x= 2
log7 49 = 2


b) Calcular: log4 16

Solução:
log4 16 = x    (igualando a x)
4x = 16         ( fatorando 4 e 16)
22x =24           (bases iguais, desprezando a base e igualando os expoentes)
2x=4             ( dividindo 4 por 2)






c) Calcular: log81 3

Solução:
log81 3 = x        (igualando a x)
81x=3                ( fatorando)        
34x =31                  (desprezando a base e igualando os expoentes)

4x=1                  ( dividindo 1 por 4)


























Observação:













PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
Logaritmo de um produto:


Logaritmo de um quociente:

Logaritmo de uma potência:



Mudança de base:





Cologaritmo:



Observação:
Sistema de logaritmos decimais:
A base é 10, e que vem simplificada, isto é, ela não aparece.
Exemplo:
log10 2

Ele é escrito assim:
log 2