29 de fev de 2016

ESCALONAMENTO DE SISTEMAS

Já estudamos sistema de equação com duas incógnitas na 6ª série (7° ano). No Ensino médio usamos a Regra de Cramer para resolver, isto é, quando o sistema tem duas ou três incógnitas. Porém, quando o sistema é formado por três ou mais equações, se faz necessário buscar um outro processo menos trabalhoso.

Como resolver sistema usando o método do escalonamento:
1. arrumando o sistema: colocar para cima a equação que o coeficiente seja 1.
2. zera a primeira incógnita, da segunda equação.
3. zera a segunda incógnita da segunda equação. 
Fazer até a última equação.

Vejamos o exemplo:




Observe que a 1ª equação a primeira a incógnita é 1. sendo assim não precisa mexe no sistema.
para zera a segunda incógnita, multiplicamos a 1ª equação por -2, ficando assim;

x + 2y - 2z = -5  (-2)
- 2x -4y + 4z = 10     arrumando o sistema com a mudança. 






Observe no novo sistema que podemos agora zera a primeira incógnita, somando a 1ª equação com a 2ª equaçã, ficando assim;
ox - 7x + 5z = 19







Para zera o x na 3ª equação multiplicamos a primeira equação (original) por -3

x + 2y - 2z = -5  (-3)
- 3x -6x + 6z = 15    somando com a 3ª equação do sistema.

ox -7y + 9z = 23     vejamos como ficou o novo sistema.






Agora precisamos eliminar o -7y da terceira equação. Para isso é só multiplicar a 2ª equação por-1
e somar com a 3ª equação.
-7y + 5z = 19     (-1)

7y -5z = -19   somando com a 3ª equação ficando
0y + 4z = 4

Vejamos como ficou finalmente o sistema:
Agora é só calcular o valor de cada incógnita.
Substitui o valor de z na 2ª equação para encontrar o valor de y.
-7y + 5z = 19
-7y + 5.1=19
-7y + 5 = 19
-7y = 19-5
-7y=14

Substitui os valores encontrados de z e y na 1ª equação para encontrar o valor de x.
x+2y-2z=-5
x+ 2.(-2) - 2.1=-5
x - 4 -2 = -5
x -6 = - 5
x = -5 + 6
x = 1

V={(1, -2, 1)}



Exemplo:



Solução:

I-A 2ª equação jogo para cima, ocupando o lugar da 1ª.





II- Multiplicando a 1ª equação por (-2) e o resultado adiciono a 2ª equação, para anular o 2x da 2ª equação.
-2x -2y - 4z = -6
2x + 2y +3z = 5
               -z = - 1






Observe que nesta primeira operação anulamos na 2ª equação x e y.

III- Multiplicando mais uma vez a 1ª equação por (-3)  e o resultado adiciono a 3ª equação para anular o 3x.
-3x - 3y - 6z = -9
3x + 4y + 2z = 0
          y  - 4z = -9

IV- Multiplicando a 2ª equação por (-4)  e o resultado adicionando com a 3ª equação para anular -4z.






   4z = 4
y-4z = -9
y      = - 5

Como já encontramos os valores de y = - 5 e z = 1, vamos substituir esses valores em qualquer equação do sistema para encontrar o valor de x.

x + y + 2z = 3
x - 5 + 2 = 3
x  - 3 = 3
x = 3 + 3
x = 6

V= [( 6, -5, 1 )]



Exemplo:





Primeira operação eliminando 4x da 2ª equação.





Segunda operação eliminando x na 3ª equação.





Terceira operação eliminando o 2y da 3ª equação.





Encontrando o valor de z e substituindo na 2ª equação para encontrar o valor de y.

















Substituindo os valores encontrados em qualquer equação para encontrar o valor de x.
x + y + z = 6
x + 2 + 3 = 6
x + 5 = 6
x= 6 - 5
x= 1

V=[(1, 2, 3)]

Bons estudos para todos que os alunos do Ensino Médio 


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