18 de ago de 2015

RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES- EXERCÍCIOS



1) Racionalize o denominador de cada uma das seguintes expressões:

                                                                                          
                                                            





2) Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:








3) Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:

                                 


                               



4) Racionalize o denominador de cada expressão a seguir:









RESPOSTA:

Para eliminar os radicais dos denominadores vamos encontrar um fator racionalizante para cada um. Para uma melhor compreensão o fator racionalizante vai esta destacado na cor vermelha.

Nesse primeiro caso, o fator racionalizante vai ser a raiz quadrada de 10, multiplicamos os dois radicais e extraímos a raiz.

1)





    ( multiplica-se o fator racionalizante, tanto no numerador como no denominador da fração)




     

     (dividindo  numerador e o denominador por 2)











   





       








   





     



 











   










     





   





2 )
















     











 





































 



 




3)








   



























    










4)


















































(Exercício tirados do livro: Conquista da Matemática 9º ano,2009; página 85)


16 de ago de 2015

ÂNGULOS

ângulos-exercícios

    1)Qual o instrumento usado para medir ângulos?
    2)Quando dois ângulos têm a mesma medida como são chamados?
    3)Quanto mede um ângulo reto?
    4)O que são ângulos complementares?
    5)Determine a medida do suplemento de um ângulo de 82º 30'
    6)A medida de um ângulo é igual à medida de seu complemento, aumentada de 70°. Qual é a medida desse ângulo?
    7)As medidas de dois ângulos adjacentes suplementares são expressos, em graus, por x + 43° e 2x - 10°. A medida do maior desses ângulos é:
    8)A medida de um ângulo é igual à medida do seu complemento, aumentada de 30°. Qual é a medida desse ângulo?
    9)A medida de um ângulo é igual à terça parte da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo?
    10)A medida de um ângulo é o triplo da medida do seu suplemento. Qual é a medida do maior desses ângulos?

11 de ago de 2015

SISTEMAS DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU: EXERCÍCIOS

1) Resolver os sistemas abaixo:








2) A soma das áreas de dois quadrados é 52cm2  Sabendo que a diferença entre as medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, calcule a área de cada quadrado.

3) A diferença entre as idades de Pedro e Joana é 5 anos, e o seu produto é 84. Qual a idade de cada um?

4) A soma de dois números é 28, e diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado do segundo, nessa ordem, é 56.

5) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.


RESOLUÇÃO:
Vamos usar o método da substituição. Qualquer dúvida vá até a postagem SISTEMA DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU, lá tem um resumo passo a passo de como se resolve um sistema do 2º grau.


1)


Como x é igual a 2y, é só substitui na segunda equação.

x=2y




   ( encontrando as raízes da equação do 2º grau)

a= 1; b= 2 ;  c= -35



















Encontrando o valor de x.
x= 2y
x= 2.5
x=10

x=2y
x=2 .(-7)
x= -14
Solução: (10,5); (-14, -7)





x = 9 - y  ( substituindo x na 2ª equação)

xy = 14

(9-y).y =14

9y – y2 = 14


– y2 + 9 – 14 = 0    (podemos multiplicar por -1 para alterar o valor de a. para facilitar os cálculos).

 y2 - 9 + 14 = 0 

a= 1; b= -9; c= 14












Encontrando o valor de x.

x = 9 - y
x = 9 - 7
x = 2

x = 9 - y
x = 9 - 2
x = 7

Solução: (2, 7); (7, 2)






x = 5 - 2y   ( substituindo na 2ª equação)

y2  = 7 – 3x

y2  = 7 – 3.(5 – 2y)

y2  = 7 – 15 + 6y  ( organizando)


y2  - 6y + 8 = 0 

a= 1; b = - 6; c = 8











Encontrando o valor de x.

x = 5 - 2y
x = 5 - 2.4
x= -3

x = 5 - 2y
x = 5 - 2.2
x=1

Solução: (-3, 4); ( 1, 2)





x = -17 + 2y     ( substituindo na 2ª equação)

y2  + 5x= -29

y2  + 5( - 17 + 2y) = -29

y2  - 85 + 10y = -29

y2  + 10y - 85 + 29  = 0


y2  + 10y - 56  = 0

a=1; b= 10; c= -56













x = -17 + 2y   ( encontrando o valor de x. )
x = -17 + 2.4
x = -17 + 8
x= -9

x = -17 + 2y
x = -17 + 2 . (-14)
x = -17 - 28
x= - 45

Solução: (-9, 4); ( -45, -14)


2) A soma das áreas de dois quadrados é 52cm2  Sabendo que a diferença entre as medidas dos lados desses quadrados é 2 cm, calcule a área de cada quadrado.

Dados:
Vamos chamar os quadrados de x e y.

       x . x = 2                y . y =  y2
Para calcular a área de um quadrado multiplicamos a base vezes altura.
Montando o sistema:



isolando x na 2ª equação e substituindo na 1ª

x = 2 + y



        (resolvendo a potência)





2y2 +4y – 48 = 0    (dividindo ambos os membros por 2)

y2 +2y – 24 = 0

a= 1; b= 4; c = -24










Encontrando o valor de x.

x = 2 + y

x = 2 + 4

x= 6

x = 2 + y

x = 2 + ( - 6)

x = 2 - 6

x = - 4

(6, 4)

Para a questão só interessa o números positivos.
O quadrado maior tem área igual a 36 cm2
O quadrado menor tem área igual a 16 cm2 


3) A diferença entre as idades de Pedro e Joana é 5 anos, e o seu produto é 84. Qual a idade de cada um?

Solução:

x a idade de Pedro
y a idade de Joana



x = 5 + y

xy = 84

(5 +y) y = 84

5y + y2 = 84

 y2 + 5y - 84= 0

a= 1; b=5; c= - 84











x = 5 + y    ( encontrando o valor de x)

x = 5 + 7

x = 12

Observação: Os números negativos não serve para esse tipo de pergunta.
Solução: Pedro têm 12 anos e Joana têm 7 anos



4) A soma de dois números é 28, e diferença entre o quadrado do primeiro e o quadrado do segundo, nessa ordem, é 56.

Montando o sistema:


x = 28 - y         ( isolando x)

x2 – y2 = 56      ( substituindo na 2ª equação)

(28 - y)2 – y2 = 56

784 – 56y + y2 –y2 = 56    ( cancelando + y–y2)

-56y = 56 – 784


-56y = - 728



Encontrando o valor de x.

x = 28 - y  
x = 28 - 13
x= 15

Solução: ( 15, 13)


5) Determine dois números inteiros e positivos tais que o produto entre eles seja 140, e a diferença entre eles seja 4.

Montando o sistema:


isolando x na 2ª equação e substituindo na 1ª equação
x= 4 + y
xy = 140
(4 + y).y = 140
4y + y2 = 140

y2 + 4y – 140 = 0 

a=1; b= 4; c= -140











x= 4 + y

x= 4 + 10

x= 14

Solução ( 14, 10)