30 de jul de 2015

ÂNGULOS: EXERCÍCIOS

1) Sabendo que r e s são paralelas. Qual o valor de x?


2) As retas r e s são paralelas cortadas por uma reta transversal t. Quanto vale y?


3) Sendo r // s e x = 3y. Qual o resultado de x – y ?


4) Sabendo que r e s são retas paralelas. Qual o valor de y – x?


5) Calcule a medida, ângulo BÔC.
a)

b)


6) Em um triângulo  EFG, o ângulo Ê mede 40° a mais do ângulo , e ângulo  mede o dobro de Ê. Quais as medidas de  ?



RESPOSTAS:

1) 
Os ângulos na figura são suplementares, logo a sua soma deve ser igual a 180°.





x + 4x + 270° = 360°

5x = 360° - 270°




x= 18°



2) 
Como os ângulos 3x - 11° e  2x + 6°, são ângulos correspondentes, logo são iguais, vamos igualar para encontrar o valor de x.
3x - 11° = 2x + 6
3x - 2x = 6° + 11°
x = 17°

Substituindo o valor de x em 2x + 6°, para saber o quanto o mesmo mede.
2x + 6°
2.17° + 6°
34° + 6°
40°.

Para encontrar o valor de y basta lembrar que a soma de y com 2x + 6° é igual a 180°, por serem ângulos suplementares.
y + 40º = 180°
y = 180° - 40°
y= 140°



3) 
Os ângulos x e y são suplementares:
3y + y = 180°
4y = 180°



y = 45°

A soma dos ângulos x e y é igual a 180°, então;
x + 45° =180°
x = 180° - 45°
x = 135°

Ele pede o valor de;
    x  -  y
135° - 45° = 90°



4)
O valor de y - x.
Os ângulos y e 125° são suplementares, logo podemos fazer
y + 125º = 180°
y = 180° - 125°
y= 55°

Como encontramos o valor de y, agora somamos os três dados e igualarmos a 180°
 x + 55° + 90° = 180°
x + 145° = 180°
x = 180° - 145°
x= 35°

Lembre que ele pede o calculo de;
y - x
55° - 35° = 20°



5)
a)
Os ângulos são opostos pelo vértice, logo são iguais, isto é, têm a mesma medida.
5x - 20° = 2x + 70°
5x - 2x = 70° + 20°
3x = 90°


x= 30°

Substituindo em qualquer um já que são iguais.
2x + 70°
2 . 30° + 70°
60° + 70°
130°

b)
O mesmo acontece com essa alternativa, isto é, os ângulos são opostos pelo vértice.





2x - 90° = x + 40°

2x - x = 40° + 90°

x = 130°

Substituindo em qualquer um já que são iguais.

x - 45°
130° - 45°
85°


6)
Lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é iguala a 180°.
DADOS:
 EFG
Ê = x + 40°
 = x
 = 2 ( x + 40° )
Quais as medidas de  

x + 40° + x + 2.( x+ 40° ) = 180°
x + x + 40° + 2x + 80° = 180°
4x + 120° = 180°
4x = 180° - 120°
4x = 60°



x = 15°

Substituindo os dados;
Ê = x + 40°
Ê = 15° + 40° = 55°

 = x
 = 15°

 = 2 ( x + 40° )
 = 2 ( 15° + 40° ) = 110°

Por se tratar de um triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180°.
Verificando
55° + 15° + 110° = 180°

19 de jul de 2015

EXERCÍCIOS- EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Exercícios de equação do 1º grau com problemas

1) Respondam as alternativas abaixo de acordo com o enunciado
    a) Maria e João são irmãos, a diferença entre eles é de 2 anos. Sabendo que o dobro da idade de João mais 5
    b) A metade de um número, mais sua terça parte, mais sua quarta parte resulta em 13. Qual é esse número?
    c) Ana tem um terreno retangular, esse terreno tem 18 m a menos de largura do que de comprimento. O perímetro desse terreno é de 84. Quanto mede o comprimento e a largura do terreno?
    d) Um pai deu 4 maçãs a cada um dos filhos e ficou ainda com 18 maçãs. Se tivesse dado 6 maçãs a cada um, teria ficado apenas com 4 maçãs. Quantos filhos esse pai têm?
    e) (TRE) Qual o número que, somando a um quarto dele próprio, mais dois quarto dele próprio, mais três quarto dele próprio, dá 100.
    Aluno (a)
    turma:

18 de jul de 2015

EXERCÍCIOS: PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.)

Um pequeno exercício de P.A. assunto visto no Ensino Médio.
1) Qual a razão de uma P.A. em que a20 = 192 e a1 = 2?

2) Determine o décimo sétimo termo da P.A. (-6, -1, 4, ...)

3) Determine a soma dos 25 primeiros termos da P.A. ( -7, -9, -11, ...)

4) Determine o primeiro termo e o número de termos de uma P.A. em que: Sn = 69, r = 3 e o último termo é 19.

5) Escreva uma P.A. de três termos, de modo que sua soma seja igual a -3 e seu produto seja igual a 8.

SOLUÇÃO:
1)
Dados:
a20 = 192  
a1 = 2
r = ?

Usando a formula geral da P.A.
an = a1 + ( n - 1 ) . r  
192 = 2 +( 20 - 1) . r
192 = 2 +( 19) . r
192 = 2 + 19r
19r = 192 - 2
19r = 190


r = 10



2)
Dados:
a1 = -6  
r = 5    (a2 - a1 = -1 - (-6) =5)
a17 = ?
an = a1 + ( n - 1 ) . r 
a17 = -6 + ( 17 - 1 ) . 5 
a17 = -6 + ( 16 ) . 5
a17 = -6 +  80
a17 = 74

3)
Dados:
a1 = -7  
r = -2    (a2 - a1 = -9 - (-7) = -2)
a25 = ?
s25 = ?

Primeiro vamos calculamos a10 :
an = a1 + ( n - 1 ) . r 
a25 = -7 + ( 25 - 1 ) . (-2) 
a25 = -7 + ( 24 ) . (-2)
a25 = -7  (-48)
a25 = -55
a25 = -55

Empregamos a fórmula da soma:













4)
Dados:
r = 3
Sn = 69 
a1 = ?
n=?

Usando fórmula geral
an = a1 + ( n - 1 ) . r 
19 = a1 + (n - 1) . 3
19 = a1 + (3n - 3) 
a1 = 3 +19 -3n
a1 = 22 -3n     substituindo na fórmula da soma da P.A.






       equação do 2º grau




















a1 = 22 -3n       substituindo os valores encontrados

a1 = 22 -3.23/3
a1 = 22 - 69/3   não serve já que o resultado tem que ser positivo.

a1 = 22 -3.6
a1 = 22 -18
a1 = 4 

solução: a1 = 4 e n= 6

5)
Soma dos três termos ( x - r, x, x+r)
Produto dos três termos: (x-r) . x . (x +r)

x- r + x + x + r = - 3
3x = -3



(x-r) . x . (x +r)=8
x . (x2 –r2)=8      substituindo x por -1
-1.((-1)2 –r2)=8
-1 –r2 = -8
r2-9 =0
r2= 9

r'= 3 
r'' = -3

Solução: 
quando r = 3
x - r, x, x + r
{-1 -(3)}, -1, {-1 + 3}
{-4, -1, 2}

quando r = -3
x - r, x, x + r
{-1 - (-3)}, -1, {-1 + (-3)}
{2, -1, -4}

PROGRESSÃO ARITMÉTICA


RESUMO

Progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com um número fixo, chamado de razão ( r).

SEQUÊNCIA

P.A (a1, a2, a3, ..., an)
Exemplo: ( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... )  Sequência, o próximo número da sequencia é formado a partir do primeiro somado com 2, e assim sucessivamente.
1+2=3
3+2=5
5+2=7



RAZÃO

a2 a1= a3 – a2 = a4 – a3 =  ... = an – an-1 = r
Para determinar a razão de uma progressão Aritmética é só subtrair o 2º termo pelo 1º.
Exemplo: ( 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... ) 
3 - 1 = 2
5 - 3 = 2
7 - 5 = 2
r = 2



TERMO GERAL

an = a1+ (n - 1) . r      ou   an = am+ (n - m) . r 

Significados das letras:
an : termo geral
a1 : primeiro termo
n : número de termos
r : razão

Exemplo:
Determine o vigésimo termo da P.A (1, 8, 15, ...)
a1 = 1
r = 8 - 1 = 7
an = a20

 a20 = 1 + ( 20 -1 ) . 7
a20 = 1 + ( 19 ) . 7
a20 = 1 + 133
a20 = 134



SOMA DOS TERMOS



Significados das letras:
a: enésimo termo
a: primeiro termo
: número de termos
Sn : soma dos n termos

Exemplo: Determine a soma dos dezoito primeiros termos da P.A. (1, 4, 7, ...)
a1 = 1
r = 4 - 1 = 3
an = a18

 a18 = 1 + ( 18 -1 ) . 3
a18 = 1 + ( 17 ) . 3
a18 = 1 + 51
a18 = 52










TRÊS TERMOS EM P.A;

(x -r, x, x + r)


Classificação da progressão Aritmética:
Crescente ( r >0 ) quando a razão for positiva: ( 4, 8, 12, ...)
Decrescente ( r < 0 ) quando a razão for negativa: ( 12, 8, 4, ... )
Constante ( r = 0 ) quando a razão for igual a zero: ( 8, 8, 8, ... )