24 de abr de 2015

II-GEOMETRIA PLANA

Dando continuidade ao estudo de geometria plana. Estes conhecimentos se faz necessário principalmente no estudo de geometria espacial.


Ângulo


É a reunião de duas semirretas a partir de um ponto comum (origem), ou vértice.


Ângulo agudo - quando sua medida for maior que 0º e menor que 90º.( 0º>90°).


Ângulo reto - quando sua medida é igual a 90º.

Ângulo de meia volta - quando sua medida foi igual a 180°.

Ângulo de uma volta - quando sua medida foi igual a 360°.

Ângulo obtuso - quando sua medida for maior que 90° e menor que 180º ( 90°>180°).

Ângulos complementares - quando a soma das medidas de dois é igual 90°.

45º + 45º = 90º

Ângulos suplementares - quando a soma das medidas de dois ângulos é igual a 180º.

135º + 45º = 180º

Duas retas paralelas cortada por uma transversal

t é a reta transversal
r//s são paralelas (// símbolo que quer dizer r é paralelo s).


Ângulos  alternos internos

Os ângulos alternos internos tem a mesma medida, isto é, são iguais, e são chamados de congruentes.


Ângulos  alternos externos

Os ângulos a e d tem a mesma medida, logo, são ângulos congruentes.



Ângulos colaterais internos

A soma de dois ângulos colaterais internos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.



Ângulos colaterais externos


A soma de dois ângulos colaterais externos é igual a 180º. São chamados de ângulos suplementares.



Ângulos correspondentes


Os ângulos a e c são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;

Os ângulos g e h são correspondentes, esses ângulos tem a mesma medida: são ângulos congruentes;



TRIÂNGULOS



Indicação

Lados do triângulo

Vértices do triângulo
A, B, C

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180º.

Obs: a classificação dos triângulos quanto aos lados já foi visto em uma outra postagem.


Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

Retângulo

O triângulo retângulo é aquele possui um ângulo interno reto, ou seja um de seus ângulos mede 90º. 
Na figura o ângulo de 90º é o do vértice B, representado por â.


Acutângulo
Todos os ângulos internos são agudos, isto é, cada um mede menos de 90º.

Obtusângulo


Possui um de seus ângulos interno obtuso, isto é, maior que 90º e menor do que 180º.
â>90º  e  â<180º


Semelhança de triângulos 

Os ângulos correspondentes são congruentes.
Os lados correspondentes são proporcionais. 



Teorema: se uma reta paralela a um lado do triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então ela determina um novo triângulo semelhante ao primeiro.








1º caso: AA
Quando dois triângulos possuem dois ângulos respectivamente congruentes são semelhantes.






~ símbolo de semelhança


2º caso: LAL
Quando dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos entre eles congruentes são semelhantes. 









3º caso: LLL
Quando dois triângulos possuem os lados correspondentes proporcionais são semelhantes.





15 de abr de 2015

EXERCÍCIOS- EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para a resolução de equações exponenciais o aluno precisa saber as propriedades das potências, além de alguns artifícios utilizados. Nos exercícios abaixo vamos utilizar três tipos de resoluções, um para cada questão:


1) Determine o conjunto verdade das equações exponenciais:
a) 2x = 8
b) 2x = 64
c) 25x = 125
d) 7x = 343
e)


2)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 3x+1 + 3x+2=12
b) 2x +1 + 2x + 3 =20
c) 7x-1 +7x+1=50
d) 5x-1 +5x-3=26



3)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 22x – 9.2x + 8 =0
b) 4x – 3.2x + 2 =0
c)25x – 30.5x = -125



RESPOSTAS:


1) Questão:

1º tipo de resolução:

Para resolver esse tipo de equações exponenciais as bases devem ser iguais, para isso igualamos as bases.

a)
2x = 8        (fatorando o 8 para igualar as bases);
2x = 23      (agora igualando os expoentes);
x=3
s={3}  ( solução ou  conjunto verdade)


b) 
2x = 64     (fatorando o 64 e igualando as bases); 
2x = 26       (igualando os expoentes);
x=6
s={6}


c) 
25x = 125      (fatorando os dois membros para igualar as bases )
(52)x = 53         (igualando os expoentes)
2x = 3




d) 
7x = 343  
7x = 73
x= 3  
s={3} 


e)
 
2x = 2-5
x= -5
s={-5}



2) Questão

2º tipo de resolução:

Trocamos  uma variável (letra) por outra variável, que chamamos de mudança de base.
Estudem as propriedades das potências: (am .an = am+n)


a) 
3x+1 + 3x+2=12               (separando cada termo com potência de mesma base);

3x . 31 + 3x . 32=12        ( troco 3x  por uma letra qualquer. Usando  yficando assim: 3x= y);
y . 3 +  y . 32=12          (substituindo na equação y por 3x );
3y + 9y = 12
12y = 12
      
y=1                      (substituindo y=1 para obter o valor de x)

 3x= y
3= 1  
3x = 30      
 x= 0                  (igualando os expoentes)
s={ 0}



b) 
2x +1 + 2x + 3 =20       (separando cada termo com potência de mesma base);
2x . 21 + 2x .2 3 =20   ( trocando 2x  por  yficando assim: 2x= y);
y . 2+  y .2 3 =20
2y  +  8y  =  20
10y = 20


y= 2     x=1

2x= y 
2x= 2

2x=21

x=1

s={1}



c) 
7x-1 +7x+1=50
7x . 7-1 +7x. 71=50     ( substituindo: 7x =y )
 y . 7-1 +y. 71=50





50y = 350


y=7

7x =y 

7x=7


7x =71

x=1     (igualando os expoentes)

s={1}



d) 
5x-1 +5x-3=26   
  
5x . 5-1 +5x . 5-3=26 



    ( substituindo: 5x =y )





26y = 3250



y= 125

5x =y

5= 125

553


x = 3

s={3}

3) questão:

3º tipo de resolução:

Além, de fazer a troca de um variável  por outra variável ( mudança de base)  resolver-se a equação do do 2º grau.

a)
22x – 9.2x + 8 =0
(2x)2 – 9. 2x + 8 = 0        ( 2x = p )

p2 – 9. p + 8 = 0























2x = p    fazendo a substituição

2x = p'
2x = 8
2x = 23
x= 3

2x = p''
2x = 1
2x = 20
x= 0

s={0, 3}



b)
4x – 3.2x + 2 =0

(2x)2 – 3. 2x + 2 = 0        ( 2x = p )

(p)2 – 3.p + 2 = 0  





    













 2x = p

2x=p'

2x=2

2x = 21

x=1


2x = p

2x=p''

2x=1

2x = 21


2x = 20

x=0

s={0, 1}



c) 
25x – 30.5x = -125

(5x)2 – 30. 5x + 125 = 0        ( 5x = p )

(p)2 – 30.p + 125 = 0 

















 5x = p
5x = p'
5x = 25
5x = 52

x = 2 


 5x = p
5x = p''
5x = 5
5x = 51
x = 1

S={1, 2} 

Agora é com vocês:
1) resolva as equações exponenciais:
a) 4x=16
b) 25x = 625
c) 2x+2 + 2x-1 = 18

d) 4x – 12. 2x = - 32


Respostas:
a) s={2}
b) s={2}
c) s={2}
d) s={2,3}