16 de fev de 2015

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM: M.M.C

Em uma outra postagem já foi estudo o M.D.C ( Máximo Divisor Comum). Nesta postagem vamos ver um pouco de M.M.C (Mínimo Múltiplo Comum).

Vejamos quem são os múltiplos dos seguintes números: 3 e 5, excluindo o zero já que esse é múltiplo de todos os números.

3 = { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63 . . .}
5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65  . . . } 

Observamos que os números 15, 30, 45, 60 são múltiplos comuns tanto de 3 quanto de 5, isto é, são divisores tanto por 3 como por 5.

Os múltiplos comuns de dois ou mais números são infinitos, sendo assim usamos o mínimo, que no caso acima o mínimo de 3 e 5 é 15.
m.m.c (3, 5 ) = 15

Portanto, o mínimo múltiplo comum  (m. m. c) de dois ou mais números é  menor de seus múltiplos comuns que seja diferente de zero.
15 é o mínimo múltiplo comum de 3 e 5, isto é, 15 é divisível tanto por 3 como por 5, logo o m.m.c de dois ou mais números é o menor número que é divisível por esses números ao mesmo tempo.  

CALCULANDO M.M.C


1- Decompõem-se cada número em seus fatores primos;
2- Multiplicam-se todos os fatores comuns e não comuns. 

a) Qual o m.m.c de 18 e 60


Organizando os dados:
18= 2 x 32
60= 22 x 3 x 5

Fatores comuns e não comuns, observe que pegamos aqueles que têm os maiores expoentes.
22 x 32 x 5
m.m.c (18, 60 ) = 22 x 32 x 5 = 180



b) Qual o m.m.c de 36, 54, 90

Organizando os dados:

36= 22 x 32
54= 2 x 33
90=2 x 33 x 5

Fatores comuns e não comuns, pegando aqueles que têm os maiores expoentes.
22 x 33 x 5
m.m.c (36, 54, 90) = 22 x 33 x 5 = 540

Processo simplificado

Pelo processo simplificado dividem-se estes números por seus fatores primos sucessivamente.
a) qual o m.m.c. de 30 e 75?


m.m.c. ( 30, 75) =  2 x 3 x 52  = 150

b) qual o m.m.c. de 48, 20, 40, 36?


c) qual o m.m.c. de 160, 150, 100?


Agora é com vocês:
Determine o mínimo múltiplo comum de:
a) 4, 14
b) 8, 40
c) 9, 15, 6
d) 12, 18

Resposta:
a) m.m.c. (4, 14)= 28
b) m.m.c. ( 8,40) =40
c) m.m.c. (9, 15, 6)=90
d) m.m.c. (12, 18) 36

6 de fev de 2015

MÁXIMO DIVISOR COMUM

Como calcular M.D.C ( máximo divisor comum).

O máximo divisor comum (mdc) de dois ou mais números naturais e o maior dos divisores desses números.
Exemplo: Qual o mdc dos números abaixos?
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Veja os divisores comuns de 20 e 30 são {1, 2, 5, 10} 
E o maior desses divisores é 10,então: m.d.c (20, 30) = 10

1º modo: Uma maneira de encontrar o máximo divisor comum (m.d.c) é fazendo a decomposição dos números em fatores primos. No final considerar os fatores primos comuns.

Os números destacados são os fatores comuns a 20 e 30.
O produto dos mesmo é 2 x 5 = 10
logo 10 é o máximo divisor comum de 20 e 30.








 2º modo: Uma outra maneira de fazer o mesmo calculo e usando o processo das divisões sucessivas
30 foi dividido por 20; resposta 1 (quociente); resto 10. 
20 foi dividido por 10, que antes era o resto; resposta 2 (quociente); resto 0.
O m.d.c é o valor do resto antes de zerar, nesse caso 10.


Vejamos outro exemplo usando o 2º modo, processo de decomposição sucessiva.
Determine o m.d.c dos números: 108 e 96.

Observe destacado que é o resto da divisão antes do zero, logo 12 é o m.d.c de 108 e 96.








Para encontrar o m.d.c de mais de dois números. Procede da seguinte maneira:  determina o m.d.c do primeiro com o segundo, o resultado usar se para determinar do terceiro e assim diante.Vejamos.

1) Determine o m.d.c de
a) 180, 84 e 24

b) 936, 792 e 504

c) 1800, 940 e 120

d) 720, 450 e 390


Solução:

a)  pelo método da decomposição sucessiva.













m.d.c de 180, 84 e 24 é 12





b)
O m.d.c de 936, 792 e 504 é 72

c) 


O m.d.c de 1800, 940 e 120 é 20

d) 

O m.d.c de 720, 450 e 390 é 30

Agora é com você determine o m.d.c de:
a) 160 e 144
b) 1248 e 864
c) 120, 216 e 300

Resposta:
a) 16
b) 96
c) 12




2 de fev de 2015

EXERCÍCIOS: CONJUNTOS

Este assunto é visto no primeiro ano do Ensino Médio. São perguntas que aparecem muito em provas. Veja passo a passo uma das maneiras de resolver questões desse tipo.

1) (TJ-SC: 2009)Num grupo de motoristas, ha 28 que dirigem automóvel, 12 que dirigem motocicleta e 8 que dirigem automóveis e motocicletas. Quantos motoristas há no grupo?
a) 16 motoristas
b) 32 motoristas
c) 48 motoristas
d) 36 motoristas

2) (Agente Administrativo 2000) Em uma cidade existem duas empresas de transporte coletivo, A e B. Exatamente 70% dos estudantes desta cidade utilizam a Empresa A e 50% a Empresa B. Sabendo que todo estudante da cidade é usuário de pelo menos uma das empresas, qual o % deles utilizam as duas empresas?
a) 20% 
b) 25% 
c) 27% 
d) 33% 
e) 35% 

3) (CESSP) Numa Universidade são lidos jornais X e Y. 80% dos alunos da mesma leem o jornal X e 60% o jornal Y. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais. Qual o percentual de alunos que leem ambos?

4) Numa classe de 60 alunos, 38 falam inglês e 15 falam francês. Desses alunos, 10 não falam nem inglês nem francês. Quantos falam ambas as línguas?

5) (PUC-RIO) Um levantamento sócio econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria, 22% têm automóvel e 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel?

6) (PUC) Numa comunidade constituída de 1 800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), Novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas.
Programas
E
N
H
E e N
N e H
E e H
E, N e H
Números de telespectadores
400
1220
1080
220
800
180
100
Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é:
a) 200
b) os dados do problema estão incorretos
c) 900
d) 100
e) n.d.a

7) (FUGO) Numa certa cidade são consumidos três produtos A, B e C, sendo:
A - um tipo de desodorante;
B - um tipo de sabonete;
C - um tipo de creme dental.
Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo desses produtos, foram colhidos os dados da tabela a seguir:

Produto
Número de consumidores
A
120
B
180
C
250
A e B
40
A e C
50
B e C
60
A, B e C
30
Nenhum dos três
180
O conjunto das pessoas consultadas constitui uma amostra. Note-se que os três primeiros dados da tabela (120, 180 e 250) não representam os que consomem apenas A ou apenas B ou apenas C, e sim o número total de consumidores dos três produtos (isolados ou conjuntamente). Nessas condições, quantas pessoas foram consultadas?
a) 500
b) 560
c) 610
d) 730
e) 910




RESPOSTAS:

1) Os dados da questão, vamos colocar em uma tabela para melhor visualizar;
Carros
A
M
A e M
Motoristas
28
12
8

A - número de pessoas que dirigem automóveis
M - número de pessoas que dirigem motocicleta
A e M - número de pessoas que dirigem os dois

Usando o diagrama deVenn, 
vamos preencher colocando no centro o elemento comum no caso o número 8; depois é só subtrair de (28-8=20)para preencher o balão que representa A; e por fim subtrair de (12-8=4) para preencher o balão M.
Para encontrar a resposta final é só, adicionar (soma) estes três valores encontrado.
A + M + AeM
20 + 4 + 8 = 32
alternativa b



2) Os dados da questão, vamos colocar em uma tabela para melhor visualizar;
Transportes
A
B
A e B
Estudantes70%50%
x


Usando o diagrama de Venn, seguindo os passos anterior para preencher o  diagrama.










Observe que o X é o elemento comum, vou subtrair do (70% - X) e vou subtrair também do (50% - X)
Para encontrar o valor de X. Lembrando que a soma dos três valores é igual a 100%

70% - X + X + 50% - X = 100%

X = 120% - 100%

X = 20%
alternativa a



3) Os dados da questão, vamos colocar em uma tabela para melhor visualizar;
JornaisXY
X e Y
Alunos80%60%
J%











O total de x + y + (x e y) = 100%

80% - J + J + 60% - J = 100%

J = 140% - 100%

J = 40%



4) Dados:
LínguasInglês ( I )Francês ( F )
I e F
Alunos3815
x


Lembrando que dos 60 alunos 10 não falam nenhuma dessas línguas, então ( 60 - 10 = 50)











38 - x + x + 15 - x = 50

x= 53 - 50

x = 3

Conferindo a resposta 











50 mais 10 que não falam nenhuma dessas línguas 60 alunos.




5) Dados, lembrando que a pergunta é de quantos não têm nem automóvel nem casa própria.
Benscasa (C)automóvel (A)
C e A
Habitantes17%22%
8%













Lembrando que a soma dos três valores é igual a 100%

100 % - 31% = 61 %

 61% não possuem nem casa própria nem automóvel.




6) Dados
Programas
E
N
H
E e N
N e H
E e H
E, N e H
Números de telespectadores
400
1220
1080
220
800
180
100

Dado comum E. N e H = 100

Vamos resolver esta questão por etapas
1º preenchendo com as letras












2º preenchendo com os valores encontrados.












ENH=100
EN= 220 - 100 
EN= 120
EH= 180 - 100
EH= 80
HN= 800 - 100
HN=700

E - EN - ENH - EH
400- 120 - 100 - 80 = 100
N- EN- ENH - HN
1220 - 120 - 100 - 700 = 300
H- EH - ENH - HN
1080 - 80 - 100 - 700 = 200

Somados os valores 
100 +120 + 80 + 700 + 100 + 300 + 200=1600
total dos entrevistados menos 1600
1800 - 1600 = 200
alternativa a.



7)
Produto
Número de consumidores
A
120
B
180
C
250
A e B
40
A e C
50
B e C
60
A, B e C
30
Nenhum dos três
180













A soma de todos os valores encontrados mais 180 é a resposta
A + AB + ABC + AC + B + BC + C
60 + 10 + 30 + 20 +110 + 30 + 170 = 430
430 +180 = 610

alternativa c