27 de jan de 2015

EXERCÍCIOS DE FUNÇÃO INVERSA

Observação: Este assunto é visto no Ensino Médio.

1) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:
a) y=x + 5
b) y=x - 4
c) y=3x
d) y=2x -1

2) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:
a) y= 4x + 2


       



         

3) Dada a função f dada por f(x)=x +6, calcule -1(4).

4) Dada a função f dada por f(x)= 2x +1, calcule -1(3).

5) Determine -1 (2) -1(- 2), sabendo que f(x) 3x + 1

6) (Santa Casa-SP) se  f-1   é a função inversa d a função f, de R em R, definida por f(x) = 3x-2,  então -1  (-1) é igual a:




7) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:













8) Determine a lei da função inversa de cada função dada por:















RESPOSTAS:
Observação:
Lembre que ocorra a lei da função inversa ela precisa ser bijetora.

Veja as mudanças feitas no momento de fazer a inversa, isto é, em dado momento troco o y por x e x por y, para calcular a inversa.

1)
a) y= x + 5   trocando y e x
    x = y + 5  isolando y no 1º membro
   -y = - x + 5
    y = x - 5

b) y=x - 4      trocando y e x
    x = y - 4    isolando y no 1º membro
   -y = - x - 4
    y = x + 4

c) y=3x      trocando y e x
    x = 3y    isolando y no 1º membro
   - 3y = - x
     



d) y=2x -1       trocando y e x
    x = 2y - 1    isolando y no 1º membro
  -2y = - x -1


  



2)
a) y= 4x + 2

   x = 4y + 2

  -4y = - x + 2






         



x(y -2) = y + 2

xy - 2x = y + 2

xy- y = 2x + 2   colocar o termo comum (y) em evidência e dividindo.

y(x- 1) = 2x +2


     



           




x( y+1) = y - 4

xy + x = y - 4

-y + xy = - x- 4

y - xy = x + 4   colocar o termo comum (y) em evidência e dividindo.

y( 1 - x) = x + 4



                 



3) Dada a função f dada por f(x)=x +6, calcule -1(4).

Primeiro vamos calcular a inversa, lembrando que a função f(x)=x +6 pode ser escrita assim;

y= x + 6   substituindo y por x e x por y.

x = y + 6

-y = - x + 6 

y = x - 6   substituindo x por 4

y = 4 - 6

y = -2


4) Dada a função f dada por f(x)= 2x +1, calcule -1(3).

Primeiro vamos calcular a inversa, lembrando que a função f(x)=2x +1 pode ser escrita assim;


y= 2x + 1   substituindo y por x e x por y.

x = 2y + 1

-2y = - x + 1

2y = x - 1


 

Agora vamos substituir x por 3 na função encontrada.



 




ou  -11


5) Determine -1 (2) -1(- 2), sabendo que f(x) 3x + 1

Primeiro calculamos a inversa;
y = 3x + 1

x = 3y + 1

-3y = -x + 1

3y = x - 2



 

Substituindo x pelos valores dados:  -1 (2) -1(- 2) na função encontrada.



Ou seja





6) (Santa Casa-SP) se  -1 é a função inversa da função f, de R em R, definida por f(x) = 3x-2,  então -1  (-1) é igual a:


Primeiro calculamos a inversa;
y = 3x - 2

x = 3y - 2

-3y = -x - 2

3y = x + 2





Substituindo x por ( -1)








letra e,  a alternativa correta.


7) 


a) y = - x + 8

     x = - y + 8

     y = - x + 8



b) y= 3x - 5

     x =3y - 5

   -3y = - x - 5

    3y = x + 5


 




 
 



x(2y - 1)= 2y + 1

   2yx - x = 2y + 1

    2yx -2y = x + 1

   2y(x - 1) = x + 1

 

 













xy = 2 - y + 4y

xy + y - 4y = 2

y(x + 1 - 4) = 2

y( x - 3) = 2




8)


















































































(Exercícios tirados do livro: Matemática aula por aula: volume único de Benigno e Claudio; página 62;  FTD,2000).

12 de jan de 2015

POLÍGONOS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS NA CIRCUNFERÊNCIA

POLÍGONOS INSCRITOS

1ª Propriedade:todo polígono regular pode ser inscrito ( posto dentro) numa circunferência. Observe que todo os vértices dos polígonos regulares estão em contrato com a circunferência. Vejamos:

triângulo equilátero inscrito
  












quadrado inscrito



pentágono regular inscrito

hexágono regular



POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

2ª Propriedade:todo polígono regular é circunscrito (fica por fora) da circunferência. A circunferência é tangente (troca) aos lados do polígono. Vejamos:




triângulo regular (equilátero)



quadrilátero regular (quadrado) 
















pentágono regular

















hexágono regular


















POLÍGONOS REGULARES (RELAÇÕES)

Polígono regular é todo polígono cujos lados são congruentes (mesma medida) e cujos ângulos internos são congruentes.

Dados usados nas fórmulas:
l ; medida do lado
a; medida do apótema
r; medida do raio da circunferência circunscrita
A; área do polígono

Triângulo equilátero


     

     

   



Exemplo:
Qual a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio 2 cm?

Dados:
raio 2 cm
lado  
A= ?

 é o lado desse triângulo.

Substituindo na fórmula:














Quadrado





A= 2r2





Exemplo:
Quanto mede o apótema do quadrado inscrito numa circulo, sabendo que o perímetro do quadro mede 20 cm?

Dados:
perímetro do quadrado 20 cm

p= 20 cm

a=?

Perímetro o dividido por 4:
20/4 = 5


O raio da circunferência é igual 2 vezes a diagonal do quadrado. logo para achar o raio dividimos por 2.



Substituindo na fórmula





Mais uma fez substituindo para achar o apótema.












l= r











Exemplo:

Qual a medida do raio de uma circunferência, sabendo que o apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência mede  ?

Dado:
a=

r = l

substituindo o valor da apótema, lembrado que o lado é igual ao raio.

 

     ,podemos multiplicamos 15 por 2, ficando assim;




  , isolando r








 Observação: assunto visto com mais detalhes no Ensino Médio.