15 de set de 2015

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER

Já foi visto em outra postagem as relações métricas no triângulo retângulo. Vamos posta um resumo das relações trigonométricas em um triângulo qualquer.


TEOREMA DOS SENOS


Em qualquer triângulo, as medidas dos lados, são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

Observe na figura os lados representados por letras minusculas a, b e c. E os ângulos representados por letras maiúsculas A, B e C.

Observe a figura abaixo:


O lado a está para o ângulo C, assim como o lado b está para o ângulo A e o lado c está para o ângulo B.



Observação: A lei dos senos é válida para qualquer triângulo.


Exemplo1 
Determine a medida de x no triângulo:






Resolução:

Pela lei do seno:

Substituindo:


















Exemplo2


Determine a distância indicada por x, que vai do ponto A ao B na figura abaixo.
( Use sen 22º = 0,37 e sen 28° = 0,47)


Resolução


0,37 x = 0,47 . 200

0,37 x = 94

   


TEOREMA DOS COSSENOS

Em qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros lados menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado estudado.

Vejamos como fica o enunciado do teorema




resumão


Exemplo1
Determine a medida indicada por x no triângulo abaixo:


Resolução:

x2 =802 +502 – 2.80.50.cos60°

x2 =6400 +2500 – 8000.cos60°


x2 = 6400 + 2500 - 4000

x2 = 8900 - 4000

x2 = 4900 






Exemplo2
Determine a distância indicada por x, que vai do ponto A ao B, na figura.


Solução:

x2 = 92 + 122 – 2 . 9 . 12 . cos 60°

x2 = 81 + 144 – 216 . cos 60°

x2 = 225 – 216 . cos 60°








x2 =225 – 108


x2 =117




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