15 de abr de 2015

EXERCÍCIOS- EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

Para a resolução de equações exponenciais o aluno precisa saber as propriedades das potências, além de alguns artifícios utilizados. Nos exercícios abaixo vamos utilizar três tipos de resoluções, um para cada questão:


1) Determine o conjunto verdade das equações exponenciais:
a) 2x = 8
b) 2x = 64
c) 25x = 125
d) 7x = 343
e)


2)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 3x+1 + 3x+2=12
b) 2x +1 + 2x + 3 =20
c) 7x-1 +7x+1=50
d) 5x-1 +5x-3=26



3)Determine o conjunto verdade das seguintes equações exponenciais:
a) 22x – 9.2x + 8 =0
b) 4x – 3.2x + 2 =0
c)25x – 30.5x = -125



RESPOSTAS:


1) Questão:

1º tipo de resolução:

Para resolver esse tipo de equações exponenciais as bases devem ser iguais, para isso igualamos as bases.

a)
2x = 8        (fatorando o 8 para igualar as bases);
2x = 23      (agora igualando os expoentes);
x=3
s={3}  ( solução ou  conjunto verdade)


b) 
2x = 64     (fatorando o 64 e igualando as bases); 
2x = 26       (igualando os expoentes);
x=6
s={6}


c) 
25x = 125      (fatorando os dois membros para igualar as bases )
(52)x = 53         (igualando os expoentes)
2x = 3




d) 
7x = 343  
7x = 73
x= 3  
s={3} 


e)
 
2x = 2-5
x= -5
s={-5}



2) Questão

2º tipo de resolução:

Trocamos  uma variável (letra) por outra variável, que chamamos de mudança de base.
Estudem as propriedades das potências: (am .an = am+n)


a) 
3x+1 + 3x+2=12               (separando cada termo com potência de mesma base);

3x . 31 + 3x . 32=12        ( troco 3x  por uma letra qualquer. Usando  yficando assim: 3x= y);
y . 3 +  y . 32=12          (substituindo na equação y por 3x );
3y + 9y = 12
12y = 12
      
y=1                      (substituindo y=1 para obter o valor de x)

 3x= y
3= 1  
3x = 30      
 x= 0                  (igualando os expoentes)
s={ 0}



b) 
2x +1 + 2x + 3 =20       (separando cada termo com potência de mesma base);
2x . 21 + 2x .2 3 =20   ( trocando 2x  por  yficando assim: 2x= y);
y . 2+  y .2 3 =20
2y  +  8y  =  20
10y = 20


y= 2     x=1

2x= y 
2x= 2

2x=21

x=1

s={1}



c) 
7x-1 +7x+1=50
7x . 7-1 +7x. 71=50     ( substituindo: 7x =y )
 y . 7-1 +y. 71=50





50y = 350


y=7

7x =y 

7x=7


7x =71

x=1     (igualando os expoentes)

s={1}



d) 
5x-1 +5x-3=26   
  
5x . 5-1 +5x . 5-3=26 



    ( substituindo: 5x =y )





26y = 3250



y= 125

5x =y

5= 125

553


x = 3

s={3}

3) questão:

3º tipo de resolução:

Além, de fazer a troca de um variável  por outra variável ( mudança de base)  resolver-se a equação do do 2º grau.

a)
22x – 9.2x + 8 =0
(2x)2 – 9. 2x + 8 = 0        ( 2x = p )

p2 – 9. p + 8 = 0























2x = p    fazendo a substituição

2x = p'
2x = 8
2x = 23
x= 3

2x = p''
2x = 1
2x = 20
x= 0

s={0, 3}



b)
4x – 3.2x + 2 =0

(2x)2 – 3. 2x + 2 = 0        ( 2x = p )

(p)2 – 3.p + 2 = 0  





    













 2x = p

2x=p'

2x=2

2x = 21

x=1


2x = p

2x=p''

2x=1

2x = 21


2x = 20

x=0

s={0, 1}



c) 
25x – 30.5x = -125

(5x)2 – 30. 5x + 125 = 0        ( 5x = p )

(p)2 – 30.p + 125 = 0 

















 5x = p
5x = p'
5x = 25
5x = 52

x = 2 


 5x = p
5x = p''
5x = 5
5x = 51
x = 1

S={1, 2} 

Agora é com vocês:
1) resolva as equações exponenciais:
a) 4x=16
b) 25x = 625
c) 2x+2 + 2x-1 = 18

d) 4x – 12. 2x = - 32


Respostas:
a) s={2}
b) s={2}
c) s={2}
d) s={2,3}

93 comentários:

  1. Como resolver esta exponencial. (0,5)^x +0,5 =0

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    1. Você escreveu (0,5)^x+0.5=0, deste jeito não sei te responder não. Por que vai depender da pergunta que o professor fez, e se ele deu algum valor para x antes.

      A equação exponencial deveria ser escrita assim: (0,5)^x = 0,5

      Como as bases estão iguais, você iguala os expoentes. Lembrando de que na base 0,5 o expoente é 1.
      Resposta: x= 1

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  2. Alguem sabe como resolver esta exponencial? 3/4^x-1 = -3/4

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    1. A mesma coisa que escrevi no outro comentário serve para essa questão. As bases não estão iguais. Uma esta 3/4 e a outra -3/4, isto é uma positiva e outra negativa. Veja se o professor na questão cita algum valor para a incógnita. Se ele citou sim ai fica fácil, é só substitui o valor dado em x e resolver a potencial.

      Se estivesse escrito assim: 3/4^x-1= 3/4
      Como as bases estão iguais é só iguala os expoentes: x-1 =1 x=1+1 x= 2

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  3. Bom dia. Muito bom professor gostei desta ajuda comecei faculdade de engenharia este ano ,fiquei muito tempo fora da escola terminei meu ensino médio em 1986 só agora voltei estudar to fazendo muita revisão toda ajuda é bem vinda. Obrigado.

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  4. Respostas
    1. Marcus Vinicius Silva, eu gostaria de pode ajudar, mas a expressão numérica do jeito que esta escrito eu não entendi.
      O espaço aqui não permite você escreve certa expressões. Por exemplo: Para escreve potência escrevemos assim: 4^2 ( 4 elevado ao quadrado). Divisão 4/2 (4 dividido por 2).

      Qual quer coisa mande para o email. uma xerox da expressão.

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  5. Este comentário foi removido pelo autor.

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  6. Como resolver essa equação
    2^x-3 + 2^-1 +2^x =52

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    1. Este espaço dos comentário não permite você escreve certa expressões. Por exemplo: Para escreve potência escrevemos assim: 4^2 ( 4 elevado ao quadrado). Divisão 4/2 (4 dividido por 2).

      Qual quer coisa mande para o email. uma xerox da expressão.

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  7. 2 segunda questão o item (B)está certo?

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  8. Gostaria de pedir o gabarito(resolução) das questões "Agora é com vocês",estou tendo dificuldades e gostaria de saber no que estou errando...
    Obrigada desde já

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    1. O gabarito esta abaixo, só não tem a resolução passo a passo.
      Lembre-se que você deve fatorar o máximo que puder para deixar as bases iguais. Depois de feito isso, esqueça as base e trabalhe só com os expoentes.
      Veja a letra A ( o simbolo usado ^ para indicar que um número foi elevado)
      Depois de fatorado ficou (2^2)^x = 2^4
      Como as bases estão iguais, isto é, 2 elevado a 2 e 2 levado a 4. vou trabalhar só com expoentes ficado assim;
      2x = 4 divido ambos membros por 2
      x = 2

      Agora veja a Letra B depois de fatorado ficou assim
      (5^2)^x = 5^4 como as bases estão iguais
      2x = 4 divido ambos membros por 2
      x = 2

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  9. Professor, bom dia. Poderia me ajudar com a seguinte dúvida em exponenciação?
    (0,8^x) - 1 = 1/4. Não consigo desenvolver este número decimal.

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    1. Gostaria de pode te ajudar mas, o espaço aqui não permite escrever fórmulas matemáticas, espero que você consiga alguém para ajudar.
      o valor de x vai ser:

      x= -1

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  10. Como resolvo a) 2x+7=1/64
    B) 5^2x+20.5x-125=0

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  11. Como resolvo a) 2x+7=1/64
    B) 5^2x+20.5x-125=0

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    1. Letícia neste espaço fica muito difícil escrever fórmulas matemáticas.

      a letra (a) parecer ser uma equação do 1° grau.

      No blog tem uma pasta com o nome ''DICAS'' lá existe um aplicativo que resolve algumas expressões matemáticas.

      Ao escrever lá você precisa usar alguns sinais para que o aplicativo reconheça e possa dar a resposta correta.

      Símbolos
      ^ potencia ( um número elevado a outro 2^3 , isto é, 2 elevado a 3)
      * multiplicação ( um número multiplicado por outro 2 * 3, isto é, 2 vezes 3)
      / divisão ( um número dividido por outro)
      + adição
      - subtração
      = igual

      Boa sorte.

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  12. Boa Tarde, gostaria de saber se uma equação exponencial o valor da variável que usamos como artifício pode ter como resultado uma dízima periodica???? estou a me dedicando só agora em matematica, então ainda tenho muitas dificuldades. agradeceria

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  13. maira regina rosa03/08/2016 22:43

    como resolvo 2x=1\8

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    1. Pelo que entendi se trata de uma equação do 1° grau com denominador.(dois x igual a um dividido por oito).

      Toda vez que se tem denominador tira-se o M.M.C, nesse caso é 8. Depois usa o mesmo processo aprendido na 5ª série com adição de fração com denominadores diferentes.

      2x=1/8
      16x/8 = 1/8 despreza se os denominadores agora, ficando só com os numeradores
      16x = 1 passa 16 para o 2° membro dividindo
      x=1/16 essa é a resposta. Caso o professor pediu que a resposta devia ser em decimais é só dividi 1 por 16. Que vai ser 0,0625.

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  14. Como resolvo essa equação exponrecial 3*-5=27'-x

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    1. Eu não entendi esses sinais que você.
      * significa multiplicação
      ' significa minutos

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  15. Resolva as seguinte equações exponenciais:
    a) 3^x(x-2) = 3^-8
    b) 2^x.3 = 3^x.2

    obs: o sinal ^ representa que o numero e elevado.

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  16. Muito bom o blog me ajudou bastante, obrigado.

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  17. Resolva as equações exponenciais:

    a) 2^(x-15) = 16
    b) 7^(x²-9) = 1

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    1. A primeira é só igualar as bases. Para a segunda você não tem como igualar as bases, nesse caso você vai usar um artificio que é chamado mudança de base.
      Qualquer dúvida assista alguns vídeos do assunto no canal youtube.

      a) 2^(x-15)=16 você fatora o 16 para igualar as bases (sinal ^ usado para dizer que um número elevado a outro)

      2^(x-15)= 2^4 Veja que as bases estão iguais 2 elevado (x-15) e 2 elevado a (4)
      Agora você despreza as bases e trabalha só com os expoentes.
      x-15=4
      x=4+15
      x=19 essa é a resposta da letra A.

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  18. Bianca Silva23/10/2016 11:19

    Bom dia poderia me ajudar Professor resolver estas equações a)125^x+2 =5^0
    b) 9^x+3=27^x ???

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    1. Você deve fatora 125 para deixar as bases iguais.
      125^x+2 = 5^0 depois de fatorado fica assim
      5^3(x+2) = 5^0 (não esqueça que esse sinal ^ indica que um número foi elevado a outro)
      5 elevado a 3
      Agora desprezas as bases e trabalha só com os expoentes
      3(x+2) = 0
      3x + 6 = 0
      3x=-6
      x= -6/3 (/ sinal usado para indicar divisão)
      x= - 2 ( essa é a resposta da letra A)

      9^x+3 = 27^x ( nesse caso tanto fatora o 9 com o 27)
      3^2(x+3) = 3^3x
      2(x+3)= 3x
      2x+6=3x
      2x-3x = -6
      -x = -6 (multiplica-se por -1 para mudar o sinal de x)
      x=6 (resposta da letra B)

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  19. Este comentário foi removido pelo autor.

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  20. Eu quero saber como resolver essa questao
    (4 elevado a x)x-1= 4 elevado a x/2.

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  21. Como resolver essa questão: 0.064= 0.25*T^-0.4

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  22. Como resolvo essa questão:
    1sobre9^X igual a raiz quadrada de 27.

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    1. O espaço aqui não tem como dar essa resposta, mas vamos lá. Espero que você entenda.
      Você deve fatora tanto o 9 que esta no denominador, quanto o 27
      Fatorando 9 ficar assim

      9x = 3^2x ( ^sinal para dizer que 3 esta sendo elevado 2x). Lembre que 9^x esta no denominador.


      Fatorando 27 fica assim:
      3^3

      Para tirar o 3^2x do denominador, você vai escrever assim:
      3^-2x = 3^3

      Veja que as base estão iguais, agora é só igual os expoentes

      -2x = 3 ( você pode multiplicar por -1 para mudar o sinal de -2x), depois é só dividir o resultado.

      2x=-3
      x= -3/2 (/ para indicar uma divisão)

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  23. Como posso resolver esse exercícios 3x. 8x+2=6 e 3x+1=12-3x+2

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    1. Bom dia!
      Lurdes eu não entendi a sua expressão.

      Esta parecendo um sistema de equação.

      Observação: O espaço de comentários é muito limitado para escrever
      expressões matemática. O mesmo não aceita alguns sinais usado na
      matemática.

      Eu oriento que você vá até o youtube e digite o nome do assunto que
      você esta estudando, lá vai aparecer vários vídeos de pessoas ensinado
      o assunto.

      Boa sorte.

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  24. Resolva as equações
    A ) 2^4×+3=/8

    B) 16×=256
    C) 4×+1=64
    D) 4.3^2×+1=36

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  25. Este comentário foi removido pelo autor.

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  26. para a expressao ( x + 2)2=64 , exitem dois numeros reais que podem ser colocados no lugar de x

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    1. 2.(x+2)=64
      2x+4=64
      2x=64-4
      2x=60
      x=60/2
      x=30

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  27. para quais valores de m a equaçao do 2 grau 3x2+(2m-8)x+3=0 sera incompleta?

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  28. Qual é o valor de 5^-x para: 5^3x-6, tudo isso igualando a 8?

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  29. Bom dia, tem como responder essa questão? Divida o polinomio 4xao cubo+12xao quadrado-2x-6 por 2xao quadrado-1 e determine o valor numerico p/x=1/3.

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  30. (2+√3)^(x^2-2x+1)+(2-√3)^(x^2-2x+1)=4/(2-√3) me ajuda resolver essa exponencial

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  31. Determine a expressao . (2^×)^× ÷ x quando x=√2 (2 elevado a x entre parenteses)elevado a x dividido por x quando x= raiz de 2

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    Respostas
    1. Eu não entendi bem. Mas parece que você quis dizer que ele já deu o valor de x. Quando afirma que x= a raiz quadrada de 2.

      Sendo x= (igual a raiz quadrada de 2)
      Você substitui esse valor na expressão original, isto é, tira o x e coloca a raiz quadrada de 2.

      Quando você fizer todos os cálculos vai encontrar uma fração cujo denominador é a raiz quadrada de 2.

      Para isso você vai precisa racionalizar para finalizar.

      Vamos ver se dar para explicar aqui: sendo que ele disse que x=√2
      (2^×)^× / x Substitui o valor de x que ele já deu.

      (2^√2)^√2 / √2 resolvendo a multiplicação dos expoentes

      2^√4 /√2 tirando a raiz
      2^2/√2 resolvendo a potencia
      4/√2 racionalizando o denominador (objetivo é eliminar a raiz do denominador)
      4/√2 = √2/√2 ( / para representar o traço da fração)
      4√2 = √4 tirando a raiz
      4√2 = 2 simplificando
      2√2 esta é a resposta final pelo que entendi.



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  32. Respostas
    1. No blog existe outras postagens que trata de equação do 1º grau.
      4x = 8 (o 4 que esta multiplicando o x passa para o 2º membro dividindo)
      ( / usado para representa o traço da divisão. Deixa x no 1º membro)

      4x = 8
      x=8/4
      x=2

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  33. Respostas
    1. No blog existe outras postagens que trata de equação do 1º grau.
      4x = 8 (o 4 que esta multiplicando o x passa para o 2º membro divido)
      ( / usado para representa o traço da divisão. Deixa x no 1º membro)

      4x = 8
      x=8/4
      x=2

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  34. Olá boa tarde preciso de ajuda p fazer equação exponencial 243^1-3x=9

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    Respostas
    1. Se 243 é elevado a 1. Ou você quis dizer que 243 é elevado a (1-3x)?

      Vamos supor que seja o primeiro caso;
      Qualquer número elevado a 1 é ele mesmo

      243^1 -3x = 9
      243 -3x = 9
      -3x = 9 - 243
      -3x = - 234 ( -1)
      3x=234
      x= 234/3
      x= 78

      Vamos supor que seja a segunda opção
      Fatora 243 e 9
      ficando 3 elevado a 5(1-3x) = 3 elevado a 2

      3^5(1-3x) = 3^2
      Como a base estão iguais deixa a base e vamos trabalhar só com os expoentes

      5(1 - 3x) = 2
      5-15x = 2
      -15x = 2 - 5
      -15x = -3 ( -1)
      15x = 3
      x=3/15 simplificando
      x= 1/5

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  35. 8 elevado a x mais 1= 4 elevado a x mais 2

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    Respostas
    1. Preciso ainda agora me ajudam

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    2. 8^x+1=4^x+2 Você fatora 8 e 4 para deixar as bases iguais, ficando assim(2 elevado a 3que multiplica (x+1) igual a 2 elevado a 2 que multiplica (x+2)
      2^3(x+1)= 2^2(x+2) deixa a base e trabalha só com os expoentes

      3(x+1) = 2(x+2)
      3x + 3 = 2x + 4
      3x - 2x = 4 - 3
      x=1

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  36. Não estou conseguindo responder a D) da questão "agora é com vocês. Alguém me ajuda?

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    Respostas
    1. Quando você encontrar uma equação exponencial deste jeito você tem que utilizar de uma meio pra encontra a solução.
      1- fatore o que der pra fatora, nesse caso 4x = 2^2x
      2- depois onde tive x^2 troque por uma letra qualquer.
      3- você vai ter agora uma equação do 2º grau. É só resolver.

      2^2x -12.2^x = -32 ( trocando 2^x por p)
      2^(p) - 12. p = -32

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  37. Gente não to conseguindo fazer essa
    25×=625

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  38. Você fatora o 25 e também o 625 para deixar as bases iguais. (sinal ^ usado para dizer que um número foi elevado a outro)
    25x= 5^2x
    625=5^4
    Agora que as bases estão iguais, você vai trabalhar só com os expoentes
    5^2x = 5^4

    2x = 4
    x=4/2
    x=2

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  39. Como resolver 12,458=(1+x)^(2,5).

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  40. Professor, obrigado pelo Blog.
    Abraços!

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    Respostas
    1. Obrigado a você, fico feliz em saber que meu blog esta podendo ajudar em alguma coisa. Bons estudos Taylor Felipe.

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  41. Professor
    Como resolvo a equação:
    3×3×7/4/6
    Obs.o 3×3×7 esta sobre a fração 4/6
    Grata desde já caso puder me auxiliar

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    Respostas
    1. Pelo que entendi tratar-se de uma divisão de frações.
      Pela sua escrita 3 x 3 x 7 é o numerador ( esta em cima do traço)
      4/6 esta abaixo de de 3 x 3 x 7.

      Primeiro você resolve as multiplicação: 3 x 3 x 7 = 63
      63 continua cima e 4/6 em baixo
      Temos ai uma divisão de fração: 63 sendo dividido por 4/6
      Nesse caso:
      Você deixa 63 e inverte 4/6 transformando numa multiplicação.
      63 x 6 /4 agora você multiplica 63 por 6
      63x6/4
      378 / 4 como não dar para dividi 378 por 4 você simplifica por dois.

      189/2 esta é a resposta final.

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  42. Determine o conjunto verdade da equação exponencial:4x-5.2x+4=0

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  43. Sua expressão esta mais parecendo uma equação do 1º grau, e não uma equação exponencial.
    4x - 5 . 2x + 4 =0
    Nesse caso como você digitou, repete 4x e multiplica -5 por 2x, repete +4 =0
    4x - 10x + 4 =0 subtrai 4x de -10x

    -6x + 4 = 0 multiplica a equação por ( -1)
    6x - 4 = 0
    6x = 4 divide 4 por 6
    x=4/6 não dar para dividi, simplifique por 2
    x=2/3 resposta final.

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  44. Calcule o valor de cada expressão:
    X2+2x+1,quando x=5
    6y-6,quando y=7

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    1. Eu não entendi,
      ( x^2 + 2x + 1)parece ser uma equação do 2º grau ( x^2; isso que dizer que x foi elevado a 2)
      (6y - 6 )parece ser uma equação do 1º grau

      No blog tem postagem com esses assuntos.
      Se isso for uma equação do 2º grau faltou completa com o zero.
      X^2 + 2x + 1=0

      se for uma função do 2º grau se escreve de duas maneiras, que na verdade é a mesma coisa.
      F(x)= x^2+ 2x + 1 ou y= x^2 + 2x + 1

      x=5, você substitui no lugar de x por 5
      Vou fazer do jeito que você colocou
      X^2 + 2x + 1
      5^2 + 2.5 + 1 { 5 elevado a 2 é 25} e { 2 vezes 5 é 10}
      25 + 10 + 1
      36

      a mesma coisa você faz com a segunda expressão.
      6y-6
      6.7 - 6
      42 - 6
      36

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  45. por favor me ajudem, nao estou conseguindo fazer esta conta

    (0,01)x=1/10.000

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    1. Dê uma olhada na sua caixa de email. Veja lá se é isso mesmo.

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  46. por favor me ajudem, nao estou conseguindo fazer esta conta

    (0,01)x=1/10.000

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  47. Dada a função real f(x)=3+2x determine:
    F(5)
    F(-5)

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    1. f(x)=3+2x como já havia explicado. Não é equações exponenciais. Tratar-se de uma função. No blog tem esse assunto também, ou no youtube.
      Isso pode ser escrito de duas maneiras:
      f(x)=3+2x
      y=3+2x

      É só tirar o x e colocar o 5 e fazer as operações indicadas para achar a resposta.
      f(5)= 3+2x
      f(5)=3+2.5
      f(5)=3+10
      f(5)=13


      f(-5)=3+2x
      f(-5)=3+2.(-5)
      f(-5)=3 -10
      f(-5)= -7

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  49. O quarto termo de uma P.G.é igual a 1/16,e a razão vale 1/2.O primeiro termo é igual a:
    A. ()1 b. ()1/2 c. ()1/4 d. ()1/8

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    1. Não dar para responde aqui passo a passo.
      Resposta: d) 1/8

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  50. Calcule a soma dos 9 primeiros termos da p.g.(12,6,3).

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    1. Aqui neste espaço vai ser complicado para dar sua resposta.
      Você deve encontrar a razão (q).
      Para isso você deve dividi por exemplo o 2º termo pelo 1º, ou o 3º termo pelo 2º.
      6/12 não dar para dividi. Você simplifica por 6, ficando 1/2.
      Razão (q) = 1/2 - ( 1 em cima e 2 em baixo do traço)
      a1=12
      n=9
      s9= ?

      Agora é só usar a fórmula da soma. Como falei aqui não tem como escreve essa fórmula. Procure em algum livro de matemática, ou em outro site. No meu blog ainda não postei nada de Progressão Geométrica.

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  51. O primeiro termo de uma P.A é -10 e a soma dos oito primeiros termos é 60.A razão dessa P.A é:
    ()-5/7 ()15/7 ()5 ()10 ()28

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    1. an=a1 + (n-1).r
      60= -10 + (8 -1).r
      60+10= (7).r
      70 = 7r

      7r =70
      r=70/7
      r=10

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  54. Professor o número de múltiplos de 9,entre 1.000 e 8.500 é:

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  55. O valor da expressão (3+2) elevado a 2-1 elevado a 2

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  56. Professor pode me ajudar com essa questão:se 16 elevado a x-1=1/8 o valor de x é: ()7/4 ()-1/2 ()1 ()-1/4 ()1/4

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    1. O espaço não permite usar fórmulas matemática.
      Você fatora 16 e também o 8 ( símbolo usado para representar um número elevado ^ ) para deixar as bases iguais.
      16^(x-1) = 1/8

      2^4(x-1) = 1/2^3 ( inverte 1/2^3 mudando o sinal de 3)

      2^4(x-1) = 2^(-3) (agora despreza a base e fica só com os expoentes)
      4(x-1) = -3
      4x - 4 = - 3
      4x = - 3 + 4
      4x = 1
      x= 1/4

      Resposta 1/4

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