28 de set de 2014

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Princípio fundamental da contagem ou Princípio multiplicativo



Consiste em multiplicar o número de possibilidades de cada etapa da experiência. Vejamos o exemplo abaixo:

Exemplo1:
Maria tem 5 blusas e 2 calças. De quantas maneiras diferentes ela pode se vestir com essas roupas?

Vamos representa as blusas pela letra b e as calças pela letra c.
















A primeira blusa duas possibilidades;
A segunda blusa duas possibilidades;
A terceira blusa duas possibilidades
A quarta blusa duas possibilidades
A quinta blusa duas possibilidades
Total de possibilidades: 10

Ela tem dez possibilidades de usar as 5 blusas com as duas calças.



Exemplo2:
Marcio tem 4 bermudas e 3 camisas. De quantas maneiras diferentes ele pode se vestir com essas roupas?

        bermudas camisas
B1
B2
B3
B4
C1
C1b1
C1b2
C1b3
C1b4
C2
C2b1
C2b2
C2b3
C2b4
C3
C3b1
C3b2
C3b3
C3b4


Outra maneiras de fazer os mesmos cálculos é só multiplicar o número de bermudas, pelo número de camisas.
4 . 3 = 12 →ele tem doze  possibilidades de se vestir, com as 4 bermudas e as 3 camisas.



Exemplo3:
Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados?

Resposta:
12 . 8 = 96
Podem ser formados 96 casais.



Exemplo4:
Nina tem 6 saias, 4 blusas, 3 pares de sapatos e 2 casacos. De quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir, usando uma peça de cada conjunto?

Resposta:
6 . 4 . 3 . 2 = 144
De 144 maneiras diferentes.


Fatorial (n!)


O produto de n fatores, começa por n, até o valor 1.

Exemplo1:
5! = 5.4.3.2.1 → n!=n.(n-1).(n-2).(n-3).(n-4). … .1
                            5!=5.(5-1).(5-2).(5-3).(5-4)



Exemplos2:
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040
8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320
















Arranjos Simples



Arranjo simples de n elementos tomados p a p, onde n e p são números naturais, é qualquer ordenação de p elementos dentre os n elementos, em que cada maneira de tomar os elementos se diferenciam pela ordem e natureza dos elementos.

Obs: Os Aranjos: são agrupamentos em que a ordem dos elementos é importante.

A fórmula de arranjo simples.











Exemplo:
Quantos números de 2 algarismos distintos são formados com os algarismos: 1, 2, 3 e 4?






Resposta: 
são formados 12 algarismos distintos, que são:
12, 13, 14,21,23,24,31,34, 41,42,43.
(Os algarismos: 11,22,33,44, não entram por que ele perde-se algarismos distintos).
Onde n é o total de elementos e p o número de elementos escolhidos.



Combinação simples



Quando a ordem dos elementos não importa, mas cada elemento pode ser contado apenas uma vez, o número de combinações é o coeficiente binomial:

Fórmula de combinação simples








Onde n é o total de elementos e p o número de elementos escolhidos.


Exemplo1:
Com 8 pessoas, quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas?




São formadas 56 comissões.



Exemplo2:
Com 4 pessoas quantas comissões de 2 pessoas podem ser formadas?





São formados 6 comissões de 2 pessoas.

Outra maneira de fazer o mesmo exercício:

Vamos chamar essa 4 pessoas de André(A), Bruno(B), Carlos(C) e Davi(D). Veja como ficaria a combinações.
André(A): (AB),(AC) (AD)
Bruno(B): (BA)(BC),(BD)
Carlos(C): (CA),(CB),(CD)
Davi(D): (DA),(DB),(DC)

Observe que os grupos estão se repetindo duas vezes, por exemplo (AB) e (BA), são as mesmas pessoas André e Bruno e, assim por diante. A mesma coisa acontece com as demais pessoas. 12 : 2 = 6 comissões de duas pessoas, é a resposta.



Permutações simples


Definimos permutações simples como sendo o número de maneiras de arrumar n elementos em n posições em que cada maneira se diferencia pela ordem em que os elementos aparecem. Aplicando o princípio da multiplicação obtemos a seguinte equação para permutações simples:

Observação: a teoria vista acima com fatorial, é a mesma usada em permutações simples.


Exemplo0
Pn=n! Ou Pn=n.(n-1).(n-2). …1=n!
Pn=n!
P4=4! = 4.3.2.1=24


Exemplos1:
Considerando a palavra LIVRO, determinar:
a) o número de anagramas.
b) o número de anagramas que começam com a letra L.
c) o número de anagramas que começam com a letra L e terminam com a letra O.
d) o número de anagramas que começam com uma vogal.

Resposta:

a)P5=5!=120
O número de anagramas é igual a 120.

b) Fixando a letra L, permutamos as demais.
P4=4!=24
 O número de anagramas que começam com a letra L é igual a 24.

 c) Fixamos a letra L e a letra O e permutamos as demais.
 P3=3!=6
 O número de anagramas que começam com L e terminam em O é igual a 6 anagramas.

d) Na letra b, para cada letra fixada na primeira posição há 24 anagramas. Como existe duas vogais diferentes, o número de anagramas que começam com uma vogal é:
2 . 24 = 48.



Exemplos2:

(FCC-BA) Quanto aos anagramas da palavra ENIGMA, sejam as afirmações:
I) O número total deles é 720.
II) O número dos que terminam com a letra A é 25.
III) O número dos que começam com EN é 24.
Assinale a alternativa correta:

a) Só a afirmação I é verdadeira.
b) A afirmação II é verdadeira.
c) Só a afirmação III é verdadeira.
d) As afirmações I e II são verdadeiras.
xe) As afirmações I e III são verdadeiras.


Resolução:
A palavra ENIGMA têm 720 anagramas: 6! = 720
Anagramas que terminam com a letra A: 5! = 120
Anagramas que começam com EN: 4! = 24
A afirmação correta letra e.



Permutações com elementos repetidos









Quantos anagramas podemos formar com a palavra ARARA?
n = 5
a=3 a letra A esta se repetindo três vezes.
b=2 a letra R esta se repetindo duas vezes.








Exemplo1:







Exemplo2:
Qual o número de anagramas que podemos formar com as letras URUGUAI?

n=7












RESUMO:


Arranjos: a ordem dos elementos é importante.




Combinações: a ordem dos elementos não é importante.




Permutações: as permutações podem ser simples ou com repetição. São arranjos em que os elementos apenas trocam de lugar entre si.


Permutação simples:


Pn=n ou Pn=n.(n-1).(n-2). …1=n!




Permutação com repetição:




(Na próxima postagem vamos ver um pouco de Probabilidades).