29 de jul de 2014

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ( FUNÇÃO QUADRÁTICA)

A função polinomial do 2º grau ou função quadrática é toda função escrita y=ax2 + bx + c,  ou
 f(x) = ax2 + bx + c
sendo a, b e c números reais.



São exemplos de  funções do 2º grau:
a) y=x2 + 2x – 8                                     b) y= x2 – 9                                          c) y=-3x2 -2x + 1

GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA


O gráfico da função do 2º grau é representado por uma curva chamado de parábola.




ZEROS DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU


Quando delta for maior que zero a função y= ax2 + bx + c, tem duas raízes reais diferentes, isto é, o gráfico corta o eixo de x em dois pontos.
Quando delta for menor que zero a função y= ax2 + bx + c, não tem raízes reais.
Quando delta for igual a zero a função y= ax2 + bx + c, tem uma única raiz real  diferente, o gráfico tangencia o eixo de x.



Exemplo: Determinar as raízes da função a seguiry = x2 + 2x – 3
Igualando a função a zero, transformamos em uma equação de 2º grau
x2 + 2x – 3=0
Identificando os termos da função;
a=1    b=2  c=-3
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. 


Obs: Nesta função o gráfico corta o eixo de x( eixo das abscissas)  em dois pontos são -3 e 1. Veja o gráfico abaixo como ficou:




2. Determinar as raízes da função a seguir: y = x2 + 3x + 5 
Igualando a função a zero:  x2 + 3x + 5=0   

Termos: a=1  b=3  c= 5
A equação não tem solução no conjunto dos reais, sendo assim observe como fica o gráfico dessa função.
Obs: Nesta função o gráfico não corta o eixo de x( eixo das abscissas. Veja o gráfico.




3. Determinar as raízes da função a seguir: y = x2 – 4x + 4    
 Igualando a função a zero:  x2 -4x + 4=0   

Termos: a=1  b=-4  c= 4


Obs: Nesta função o gráfico corta o eixo de x( eixo das abscissas)  em um único ponto 2. Veja o gráfico.



O quadro abaixo mostra todas as possibilidades considerando sua concavidade.




Obs: Quando a>0 significa que a parábola tem a concavidade voltada para cima.
          Quando a < 0, significa que a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DA FUNÇÃO


1- Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y =x2 - 9
Atribuindo alguns valores para x, encontramos o valor de y.

y =x2 - 9
Y = (-4)2 – 9 = 16 – 9 = 7     
Y = (-3)2 – 9 = 9 – 9 = 0
Y = (-2)2 – 9 = 4 – 9 = -5
Y = (0)2 – 9 = 0 – 9 = -9
Y = (2)2 – 9 = 4 – 9 = -5
Y = (3)2 – 9 = 9 – 9 = 0
Y = (4)2 – 9 = 16 – 9 = 7

veja como fica a tabela abaixo. No plano cartesiano vamos marcar os pontos encontrados e traçar o gráfico.
x
y
(x,Y)
-4
7
(-4,7)
-3
0
(-3,0)
-2
-5
(-2, -5)
0
-9
(0, -9)
2
-5
(2,-5)
3
0
(3, 0)
4
7
(4,7)












Veja que o gráfico corta o eixo das abscissas nos pontos -3 e 3, enquanto que o ponto mínimo da parábola  tangencia o eixo de y em -9.




2- Construir o gráfico da função: y= x2 + 4x – 5






O gráfico corta o eixo das abscissas nos pontos -5 e 1, enquanto que o ponto mínimo da parábola  tangencia o eixo de y em -9.
Quando a parábola tem a concavidade voltada para cima dizemos que a função possui um MÍNIMO.



3- Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y =-x2 - 4

Atribuindo alguns valores para x, encontramos o valor de y. Depois traçar o gráfico e marcar os pontos.
y =-x2 - 4
Y = -(4)2 – 4 = -16 – 4 = -20
Y = -(3)2 – 4 = -9 – 4 = -13
Y = -(2)2 – 4 =- 4 – 4 = -8
Y = -(0)2 – 4 = 0 – 4 = -4

x
y
(x,Y)
-4
-20
(-4, -20)
-3
-13
(-3, -13)
-2
-8
(-2, -8)
0
-4
(0, -4)










4- Construir o gráfico da função: y= - x2 + 4x – 5



O gráfico tem como vértices (2, -1)
O gráfico não corta o eixo das abscissas no ponto, isto é, não tem raízes nos reais.
Quando a parábola tem a concavidade voltada para baixo dizemos que a função possui um MÁXIMO.



1º Determinar as coordenadas do Vértice: V(Xv, Yv).
2º Organizar uma tabela, onde se atribuir alguns valores menores que Xv  e alguns valores maiores que Xv .
3º Marcar os pontos no plano cartesiano no eixo das x (abscissas)  e eixo das y( ordenadas).
4º para finalizar é só ligar os pontos construindo a parábola.

O VÉRTICE DA PARÁBOLA: As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:


Exemplos:

1) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)=x2 – 2x – 8


A função tem o mínimo igual a -9.

Outra maneira para encontrar o vértice de y,  substituir o valor encontrado de x na função. Veja como fica:
f(x)=x2 – 2x – 8
y= 12 – 2 .1 – 8
y= 1 – 2 – 8 = -9

Vejamos o gráfico dessa função:



A função tem o mínimo igual a -9.
Outra maneira para encontrar o vértice de y,  substituir o valor encontrado de x na função. Veja como fica:
f(x)=x2 – 2x – 8
y= 12 – 2 .1 – 8

y= 1 – 2 – 8 = -9


2) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)= - x2 +  6x – 9



A função tem o máximo igual a 3.
Outra maneira para encontrar o vértice de y,  substituir o valor encontrado de x na função. Veja como fica:
f(x)=-x2 – 6x – 9
y= 32 – 6 .(-3) – 9
y=  - 9 +18 – 9 = 0


3) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)= - x2 -  2x +1


A função tem o máximo igual a 2.


4) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)= x2 + 3x - 4




Em uma outra postagem estudaremos OS SINAL DA FUNÇÃO.


20 de jul de 2014

FUNÇÃO


Função- é uma relação (correspondência) entre dois conjuntos ( f de A em B) em que cada elemento do primeiro conjunto corresponde a um elemento do segundo conjunto. Pode-se escrever: f : A B ( lê-se: f é função de A em B).


Exemplo: Tomando  os conjuntos A e B



DOMÍNIO, IMAGEM E CONTRADOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO



Domínio(D) - O conjunto de partida das flechas é chamado de domínio D(f).
D(f) = A lê-se: o domínio da função f é igual ao conjunto A.

Contradomínio (CD) - Todos os elementos que compõe o segundo conjunto são chamado de contradomínio.
CD(f) = B  lê-se: o contradomínio da  função f é igual ao conjunto B.

Imagem (Im)- O conjunto de chegada das flechas (o conjunto que recebe as flechas) é chamado de imagem Im(f).
Im(f)  B  lê-se: o conjunto imagem da função está contido no contradomínio B.


FUNÇÃO BIJETORA, INJETORA E SOBREJETORA


a) FUNÇÃO BIJETORA, f : A B é bijetora quando cada elemento de A flecha um  e somente um elemento de B, não pode sobra elementos nesse segundo conjunto. Isto é cada elemento de B esta ligada a um elemento de A.
Exemplo: 


A função bijetora pode  ao mesmo tempo ser  injetora e sobrejetora.


b) FUNÇÃO INJETORA,  f : A B, cada elemento do primeiro conjunto (conjunto domínio) ligado a penas a um elemento do  segundo conjunto ( contradomínio), sendo que nesse caso o contradomínio poderá ter elementos sobrando, o que não acontece com a função bijetora.
Exemplo:   


c) FUNÇÃO SOBREJETORA, f : A B , pode ser imagem de mais de um elemento do primeiro conjunto e não pode sobra elementos no conjunto imagem. (segundo conjunto).
Exemplo:


FUNÇÃO INVERSA


Dados dois conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {1,3,5,7}, considerando a função f de A em B definida por:
f(x) = 2x -1


f : A B e pares ordenado:
f (x)= {(1,1), (2,3), (3,5), (4,7)}
f: A B em diagrama de Venn:


A função inversa  da f:AB é f -1: B A.
A função inversa de f, f -1: B A, é o processo contrário da primeira função: é definida por
 
ou 





f : B A em pares ordenado:
f -1(x)= {(1,1), (3,2), (5,3), (7,4)}
f: A B em diagrama de Venn:




Partindo da f(x): A B e chegando a sua inversa f -1(x): B A
Pegando como exemplo a seguinte  função. f(x) = x -1, a mesma função pode ser escrita:
 y = x – 1.
1)- troca as incógnitas uma pela outra. Y por x, e x por y.




2)- insola-se o y.
x= y -1  o número (-1) passa para o outro lado.

 x + 1 = y
y = x + 1   essa é a função inversa. Ou simplesmente: f -1(x) = x + 1

Exemplos:

Dê a inversa de:
a) f(x) = x + 5
b) f(x)=2x – 4
c) y = 2x – 1


Resposta:

a) f(x) = x + 5 

y = x + 5  →  trocando as incógnitas.

x = y + 5  isolando y.

x – 5 = y  

y = x – 5


b) y = 2x – 4  → trocando as incógnitas.

     x = 2y – 4 → isolando y.

x + 4 = 2y  → o 2 que esta multiplicando y passa para o outro membro dividindo.

x+4 = y
  2

c)  y = 2x – 1 trocando as letras

 x = 2y – 1 

x + 1 = 2y

x+1  = y
  2