26 de fev de 2014

MONÔMIOS E POLINÔMIOS


Monômios - Expressão algébrica que contém parte literal (letras), chamada de variaveis e coeficientes. (números). 

Polinômios - Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles.

Expressões algébricas ou literais são toda expressão matemática que apresenta números e letras ou somente letras.

Exemplos:
a) x – y=10
b) 3x + 2y
c) 4x-3
As letras são chamadas de variáveis.

Estudo dos polinômios

 

Monômio é toda expressão representada apenas por números ou apenas por uma letra (variável) ou por um produto entre constantes e variáveis.

Exemplos:
a) 5y         
   5 – coeficiente
   y – parte literal

b) 6xyz 
     6 – coeficiente
     xyz – parte literal                

c) -17 → coeficientes (não tem parte literal).
d) –x
-1  coeficiente
x - parte literal

e) y
1 – coeficiente
y - parte literal
f) 0x
0 - coeficiente
x - parte literal  (monômio nulo).

 

Monômios semelhantes

Os monômios que possuem a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes.
a) 8xy  e -10xy → parte literal xy.
b) -5x2y3  e  x2y3 →parte literal x2y3.

Grau de um monômio

O grau de um monômio pode ser identificado de duas maneiras.
1º CASO: pela soma dos expoentes das variáveis.
■3x2y4y - (2+4+1) é do 7º grau.
■2y6 - é do 6º grau.
■ 8 - é do zero grau.

2º CASO: o grau de um monômio pode ser dado em relação a uma de suas  variáveis.
■x2y - do 2º grau em relação a x,  e  do 1º grau em relação a y.

 

OPERAÇÕES COM MONÔMIOS


ADIÇÃO ALGÉBRICA DE MONÔMIOS

Quando as partes literais são semelhantes, soma algebricamente os coeficientes, e repete-se a parte literal.

Exemplos:
a) 6xy +2xy+xy=  (6+2+1=9) = 9xy                           

b)  4yz – yz = (4-1=3) = 3yz

            
d) a2+6a2-2a2
 ( 1+6-2) = 5 - repete-se a parta literal ficando assim.

    5a2


MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS


Multiplicam-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.

Exemplos:
a) (6x3y2) . (3xy2)= (6 . 3) (x3 . x) (y2 . y2)  = 18x4y4

b) x5.x3 = x8      Aplicando  uma das propiedades de potenciação visto no 7º ano. Em diz que, bases iguais repete-se a base e soma-se os expoentes.



DIVISÃO DE MONÔMIOS

Divide-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.
Para a parte literal veja uma das propriedades das potências, (conteúdo visto no 7º ano). Divisão de potência de mesma base, repete-se a base e subtraem os expoentes.
Exemplos:
a)y7 : y3 = y7-3  = y4

b)(-32x4) : (-8x)
    (-32) : (-8) x4-1 = 4x3

c) 15x6 : 3x2  = 5x4
Observação:
Nem toda divisão de um monômio por outro monômio resulta em um novo monômio. Quando isso acontece e chamado de frações algébricas.
Exemplos:



OPERAÇÕES ALGÉBRICAS COM POLINÔMIOS

Quando efetuamos uma adição algébrica entre monomios, denomina-se polinômio.
Veja os polinômios abaixo:
a) 10x + 2y + 4
b) 5x + 3y
c) 7x – 2y

GRAU DE UM POLINÔMIO

O grau de um polinômio é dado pelo termo de maior grau ou pode ser em relação a uma determinada variável.
 Exemplos:
a) x3y  –  3x4y3  +  8xy2
     ↓           ↓           ↓
4º grau   7º grau   3º grau


 b) a) x2    3x2y2  +  4xy
     ↓             ↓             ↓
2º grau   4º grau   2º grau


c) x4y + 5x3y
4º grau em relação a x, e  5º grau em relação a y).

ADIÇÃO ALGÉBRICA DE POLINÔMIOS

Para adicionar polinômios é adiciona-los os termos semelhantes.
Exemplos:
a)( x2 -  9x + 5) + (3x2 + 7x -1)
 (x2 + 3x2) +(-9x + 7x)+( 5 – 1)
   ( 4x2            - 2x       +    4 ) = 4x2 - 2x + 4

b) (15a – 7b + 4c) + ( -8b + 3c – 9a)
     15a – 7b + 4c -8b + 3c – 9a
      (15a – 9a)+( -7b – 8b) +( 4c + 3c)  =  6a – 15b + 7c


c) (2y2 – 3ay + 4a2) – ( ay – 5y2 –a2)
    2y2 – 3ay + 4a2 –  ay + 5y2 + a2
    (2y2 + 5y2 )+(– 3ay – ay) +( 4a2 + a2)   =  7y2  – 4ay  + 5a2

MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS


Multiplicação de um monômio por um polinômio.
Multiplica-se o o monômio por cada um dos termos do polinômio.
Exemplo:
a) 2x . (3x +y)
(2x . 3x) +( 2x . y) =  6x2 + 2xy

b) 2x.(5x + 4)
(2x . 5x) +( 2x . 4) = 10x2 + 8x

c) 2x . ( x + 4)  outra maneira de multiplicar polinômios

x + 4
X   2x
2x2 + 8x

MULTIPLICAÇÃO DE UM POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO


Multiplica-se cada termo do primeiro por cada termo do segundo. Usando a distributiva.
Exemplos: 
a) (x + 7) . ( x + 5)
(x . x + x . 5) + (7 . x + 7 . 5) =
x2   +   5x    + 7x   +  35  =  x2   +   12x   +  35

b) (3x + 2y) . ( 3x – y)
     3x  + 2y
x    3x  –  y                      
        -3xy – 2y2
9x2 + 6xy – 2y2
9x2 + 3xy – 2y2

Três maneiras diferentes de encontrar o produto de polinômios.

1ª maneira:

Exemplo: Multiplicar f(x)= x+ 2x2 + 3x3 por g(x) = 4 + 5x + 6x2

Resolução:
Pega-se um elemento do primeiro e multiplica-se por todos elementos do segundo, isto é, aplica-se a distributiva.
Vejamos como fica

(f.g)=( x+ 2x2 + 3x3)( 4 + 5x + 6x2)
x(4 + 5x + 6x2) + 2x2(4 + 5x + 6x2) + 3x3(4 + 5x + 6x2)
(4x + 5x2 +6x3) + (8x2 + 10x3 + 12x4) + (12x3 + 15x4 + 18x5) adicionados os iguais
 4x + 13x2 + 28x3 + 27x4 +18x5


2ª maneira:

Exemplo: Multiplicar f(x)= x+ 2x2 + 3x3 por g(x) = 4 + 5x + 6x2

Resolução:
Utilizando uma tabela onde se coloca os coeficientes na horizontal e na vertical. Vejamos como fica

           g

f
4
5
6

0

            
      0

      0

      0

1


     4

    5

     6

2


    8

   10

    12

3


    12

   15

    18

Primeiro multiplica-se cada elemento de f por cada elemento de g.
Segundo somamos os produtos (resultado da multiplicação) de cada diagonal, como mostra a tabela.

S=0
S1=4+0=4
S2=8+5+0=13
S3=12+10+6=27
S4=15+12=27
S5=18
Resultado final:
(f.g) = 4x + 13x2 + 28x3 + 27x4 +18x5

3ª maneira:

Exemplo: Multiplicar f(x)= x+ 2x2 + 3x3 por g(x) = 4 + 5x + 6x2

Resolução:
Multiplica-se cada elemento de baixo por todo os elementos de cima. Vejamos como fica.




DIVISÃO DE POLINÔMIO POR MONÔMIO


Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio.
Exemplos:
a) (-28x4 + 8x2) : (4x2)
(-28x4 : 4x2) + (8x2 : 4x2) =   -7x2  + 2
          ↓                   ↓
        -7x2         +       2



















PRODUTOS NOTÁVEIS


QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do termo primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Exemplos:
a) (x + y)2
(x + y) . (x + y)
x .x + x.y + y.x + y.y
x2 + xy + xy + y2
x2 +2 xy + y2


b) (3x + 5)2
(3x + 5) . (3x + 5)
3x . 3x + 3x . 5 + 5 . 3x + 5 . 5
9x2 + 15x + 15x + 25
9x2 + 30x + 25


QUADRADO DA DEFERENCIA DE DOIS TERMOS
É igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
a) ( x- y)2
(x – y) . (x – y)
x.x – x.y – y.x + y.y
x2 – xy – xy + y2
x2 – 2xy + y2


PRODUTO DA SOMA PELA DEFERENCIA DE DOIS TERMOS
É igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

a) (x + y) . (x – y)
x.x – x.y +y.x – y.y
x2 – xy + xy – y2
x2 – y2

a) (3x + 5) . (3x - 5)
3x.3x – 3x.5 + 5.3x – 5.5
9x2 – 15x + 15x – 25
9x2  – 25


CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
a) (a + b)3
(a + b)2 . (a + b)
(a2 + 2ab + b2). (a + b)
a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b) (2x + y)3
(2x + y)2 . (2x + y)
(4x2 + 4xy + y2). (2x + y)
8x3 + 8x2y + 2xy2 + 4x2y + 4xy2 + y3
8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
                                   
CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
a) (a - b)3
(a - b)2 . (a - b)
(a2 - 2ab + b2). (a - b)
a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3
a3 - 3a2b  + 3ab2 - b3


b) (2x - y)3
(2x - y)2 . (2x - y)
(4x2 - 4xy + y2). (2x - y)
8x3 - 8x2y + 2xy2 - 4x2y + 4xy2 - y3
8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3


25 de fev de 2014

EXERCÍCIOS - EQUAÇÕES IRRACIONAIS

1) Resolva as equações:

RESOLUÇÃO:
Observação: a resposta da letra B é


x = 9

Livro Conquista da Matematica-9º ano, pag. 81


14 de fev de 2014

DÍZIMAS SIMPLES E COMPOSTAS


Calculando uma Geratriz de uma dízima seja ela simples ou composta
número racional é todo número cuja representação decimal é finita ou infinita periódica, também chamada de dizima periódica. As dizimas periódicas pode ser simples ou composta.
Período: é a parte que se repete indefinidamente num número decimal periódico.
Exemplos:
Dízimas periódicas simples: 1,666....           0,3333...               0,4545...        1,777...
Dízimas periódicas compostas: 0,133...         0,41666...              1,8333...
Observação: A diferença entre a dízima periódica simples e uma dízima periódica composta.
A dízima periódica simples, o período vem logo depois da vírgula, 1,666...

A dízima periódica composta entre a vírgula e o período, existe outros números que não se repetem, 1,8333...


Calculando uma Geratriz de uma dízima

Cálculo de geratriz de uma dízima periódica simples:
montando a fração:
Para o numerador da fração vai a parte da dízima, e para o denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.
Cálculo de geratriz de uma dízima periódica composta:
Para numerador a parte não periódica seguida de um dos períodos, menos a parte não periódica. No denominador um nove para cada algarismos do período, seguido de um zero para cada algarismo que representa a parte não periódica.


Outra maneira de determina a fração geratriz de uma dízima:


Exemplos:
a) 0,5555...

b) 0,424242...

c) 0,38888...

d) 2,38888...

e) 1,6666....


Solução:

a) 0,5555...

x= 0,555...               É só multiplicar ambos lados por 10, ficando assim:

10x = 5,5555

Montando a operação:



b) 0,424242... 

x = 0,424242             É só multiplicar ambos lados por 100, ficando assim:

Montando a operação:


c) 0,38888...

10x= 3,888           É só multiplicar ambos lados por 10, ficando assim:

100x = 38,888      É só multiplicar ambos lados por 100, ficando assim:

Montando a conta



d) 2,38888...

10x = 23,888
100x = 238,888



e) 1,6666....