31 de jan de 2014

TRIÂNGULOS

O triângulo é um  polígono de três lados.



CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS


Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos:
Classificação dos triângulos quanto aos lados podem ser: triângulos equiláteros, triângulos escalenos e triângulos isósceles.

Classificação quanto aos lados

a) Triângulo equilátero -  quando os três lados do triângulo são congruentes ( tem a mesma medida) é chamado de triângulo equlátero.

b) triângulo isósceles - quando dois lados são congruentes ( tem a mesma medida) é chamado de triângulo isósceles.


c) triângulo escaleno - os três lados possuem lados diferentes.



ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO




Observando o triângulo ABC acima vejamos quais são os seus elementos:









27 de jan de 2014

QUIZ

3 PROVA

3 PROVA

por VERGNIAUD DOS SANTOS

Prova de Matemática sobre geometria para alunos da 7ª série, do ensino fundamental.


1. Quais afirmações a seguir são verdadeiras? I-Ponto, reta e plano são conceitos primitivos. II-Uma reta é um conjunto de infinitos pontos. III-O plano é limitado por seu contorno. IV-Um plano contém infinitas retas.

    Apenas I e II estão corretas.

    Apenas I e III, estão corretas.

    Apenas I, II e IV, estão corretas.

    Apenas III e IV estão corretas.

2. Quantas retas determinadas por dois pontos A e B distintos?

    Uma reta.

    Duas retas

    Três retas.

    Infinitas retas.

3. O que são ângulos congruentes?

    São ângulos adjacentes.

    São ângulos alternos internos.

    São ângulos que possuem as mesmas medidas.

    São ângulos com medidas diferentes.

4. Qual o instrumento usado para medir ângulos?

    O metro.

    A régua.

    O termômetro.

    O transferidor.

5. Qual a medida do suplemento do ângulo: 97° 30'?

    81° 30'

    82° 30'

    83° 30'

    84° 30'

6. Qual o complemento de:67° 20'?

    22° 40'

    23° 40'

    22° 30'

    22° 50'

7. As medidas de dois ângulos adjacentes suplementares são expressos, em graus, por x + 43° e 2x - 10°. A medida do maior desses ângulos é:

    88°

    92°

    96°

    100°

8. Dois ângulos opostos pelo vértice têm suas medidas expressas, em graus, por 3x - 5° e x + 55°. Então a medida de um deles é:

    70°

    75°

    80°

    96°

9. A medida de um ângulo é igual à medida do seu complemento, aumentada de 50°. Qual é a medida desse ângulo?

    70°

    71°

    80°

    81°

10. A medida de um ângulo é igual à terça parte da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse ângulo?

    35°

    45°

    46°

    37°

25 de jan de 2014

MEDIDAS DE CAPACIDADE

Capacidade - quantidade, normalmente de substâncias líquidas, que também pode ser sólido ou gás, que um recipiente pode conter.
A principal medida de capacidade é o litro.

MÚTIPLOS E SUBMÚLTIPOS DO LITRO
Múltiplos
Quilolitro
Hectolitro
Decalitro
kl
hl
dal
1.000 l
100 l
10 l
Unidade fundamental

Litro
l
1 l
Submúltiplos
Decilitro
Centilitro
mililitro
dl
cl
ml
0,1 l
0,01 l
0,001 l

Observação:
1 dm = 10 cm

Qual a capacidade de um cubo medido 1dm de aresta?
1 dm x 1 dm 1 dm = 1dm3

O litro equivale à capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.
1litro = 1dm3


TRANSFORMAÇÃO DE UMA UNIDADE EM OUTRA 


Para transformar uma unidade de capacidade é só multiplicar ou divide por 10.

Exemplo: Transforme em centilitro as seguintes unidades: 2,4652kl; 43,82hl; 0,5639dal; 14,62l.

Solução:
2,4652kl = 2,4652 x 100000 = 246520 cl

43,82hl =43,82 x 10000 = 438200 cl

0,5639dal = 0,5639 x 1000 = 563,9 cl

14,62 l = 14,62 x 100 = 1462 cl




EXERCÍCIOS COM RADICAIS









Observação:
a) cancelou o expoente do 10 com o índice do radical.
b) cancelou o expoente do 13 com o índice do radical.
c) cancelou o expoente 2 com o índice do radical.
d) cancelou o expoente 4 com o índice do radical.


















Observação:
O índice do radical e o expoente do radicando, da questão 2, deve ser dividido por um mesmo número, diferente de zero.















Observação:
a) dividindo 20 : 5 = 4
b) dividindo 15 : 3 = 5
c) dividindo 24 :3 = 8
O valor de x é 4, e por que não 8?
O 8 foi dividido pelo índice 2.












































23 de jan de 2014

GEOMETRIA PLANA

Geometria significa em grego geo = terra e metria = medida, ou seja medida da terra.É uma das áreas da matemática que estuda questões de forma, tamanho e posição relativa de figuras e com as propriedades do espaço.

Conceito de pontoreta, linha e plano - em geometria não existe conceito para pontoreta, linha e plano suas definições são de forma intuitiva.

Ponto - em geometria o ponto não possui dimensões. É representado por letras maiúsculas do nosso alfabeto.

             . A   ponto A                                             . B    ponto B

Reta e linha - é formada por infinitos pontos, não tem começo nem fim, isto é, a reta é ilimitada nos dois sentidos. É imaginada sem espessura, a reta é indicada por letras menúscula do nosso alfabeto.
  
 _______________________________s                  ___________________________ t
                          reta s                                                             reta t

b
linha b





Plano - o plano é representado por letras minúsculas do alfabeto grego. É imaginado ilimitado em todas as direções, isto é, não possui fronteiras. A título de exemplo de plano, podemos citar  o chão de uma quadra de esporte, uma folha de papel. Porém, como o plano é ilimitdo em todas as direções é impossível representar um plano em um papel ou quadro-de-giz

                                                                           




                                                                                     a
plano a



                                        
                  
                                                                              b
plano b

Postulado - entende-se por postulado toda e qualquer proposição por nós já conhecida e aceita sempre como verdadeiro.


Teorema - entende-se por teorema toda e qualquer proposição que necessita de um ou mais postulados para comprovação de sua veracidade.


Observação:
 * por um ponto  qualquer de um plano  passam infinitas retas. Veja o exemplo:




* Por dois pontos distintos,  de um plano passa uma e só uma reta. Veja o exemplo: 


* RETAS PARALELAS - duas retas são paralelas quando não possuem pontos comum.


* RETAS CONCORRENTES - duas retas são concorrentes quando tem um ponto comum. Veja os exemplos de retas concorrentes, também chamadas de retas secantes.




* RETAS COINCIDENTES -  quando duas retas ocupam a mesma posição no plano.Elas tem todos os pontos em comum.


SEMIRRETA

A semirreta é aquela que tem um ponto de origem e é ilimitada num só sentido.


SEGMENTO DE RETA

Uma reta qualquer,  marcados dois pontos, o conjunto de pontos formantos entre esses dois pontos marcados é chamado de segmento de reta.









22 de jan de 2014

JOGOS DE FRAÇÕES

Atenção alunos do 6º ano veja alguns LINKS de jogos com frações muito interessante que vale apena conferir.


Bons estudos!

21 de jan de 2014

JUROS COMPOSTOS

É a modalidade de capitalização mais utilizado nas transações comerciais e financeiras é o chamado de juros compostos.
O juro composto é aquele que, em cada período financeiro, a partir do segundo, é calculado o montante relativo ao período anterior.
Exemplo: Um capital de R$ 100,00, aplicado a 3% ao mês será calculado em regime de juros compostos.
Ano                                         juro                                       Montante
0                                                                                            100,00
1                100,00 x 0,03 x 1                       =                        103,00
2                103,00 x 0,03 x 1                       =                        106,09
3                109,09 x 0,03 x 1                       =                        109,27

Montante é igual a soma do capital com os juros.
M = C + J
Exemplo: Um capital de R$ 210,00, aplicado em regime de juros simples durante 4 meses, à taxa de 6% ao mês. Calcular os juros e o montante nesse período.
Dados:
c = R$ 210,00
i = 6% ao mês
t = 4 meses
j =?
M = ?
Solução:













Juros de R$ 50,40
Montante de R$ 260,40
C + J

Para calcular juros compostos podemos usar a fórmula.
M=c.(1+i)n
M= montante
c=capital inicial
i=taxa
n=tempo ( dias, meses ou ano)

Exemplos:
a) Um capital de R$ 500,00 é aplicado, a juros compostos, durante 4 meses, à taxa de 20% a.m.. Qual é o montante obtido?
Solução:
Dados:
c= R$ 500,00
i = 20% ao mês (0,2)
t= 4 meses
M=?
M=c.(1+i)n

M = 500,00 . (1 + 0,2 )4
M=500,00 .(2,0736)
M= 1 036,80
O montante foi de R$ 1 036,80

b) Jô aplicou R$ 15 000,00 a juros compostos de 8% ao mês. Que quantia terá após 6 meses de aplicação?
Solução:
Dados:
c = R$ 15 000,00 
i = 8% ao mês (0,08)
t = 6 meses
M =?


M=c.(1+i)n

M =1 500,00 . (1 + 0,08 )6
M= 1500,00 .(1,58687)
M= 23 803,05
O montante foi de R$ 23 803,05, 

c) Calcule o montante produzido por R$ 30 000,00 aplicados em regime de juros compostos a 4% ao mês, durante 2 meses.
Solução:
Dados:
c= R$ 30 000,00
i = 4% ao mês
t = 2 meses
M = ?

M=c.(1+i)n
M =30 000,00 . (1 + 0,04 )2
M = 30 000,00 . ( 1,0816)
M = 32 448
  
O montante foi de R$ 32 448,00

20 de jan de 2014

JUROS SIMPLES

Quando se empresta uma quantia por um determinado tempo (prazo), recebe-se uma compensação em dinheiro. Essa comprensação é chamada de juro.
Para determinar o juro  é necessário que se conheça o capital inicial, o prazo e a taxa de juro.

*Capital inicial (c) - à quantia emprestada ou emprgada. Representada pela letra c.

* Prazo (t) - é o tempo que vai desde o início até o fim da operação. Representada pela letra t.

* Taxa (i) - refere-se ao percentual (%), que é o juro recebido ou pago em um determinado prazo (tempo).
É representado pela letra i.

* Juros (j) - é a compressão em dinheiro devida ao empréstimo do capital, durante um tempo. É representado pela letra j.

Exemplos:
a) Se fosse emprestado a quantia de R$ 100,00, a 20% ao ano, durante 1 ano. Quais os juros produzidos por esse capital?
Dados:
c = R$ 100,00
i = 20% ao ano
t = 1 ano
j = ?

O juro é uma grandeza variável, direntamente proporcional. Para facilitar a resolução de problemas envolvendo juros simples, podemos empregar uma fórmula. Vejamos:
- Um capital 100 em 1 ano produz juros iguais a i.
- Um capital c em t anos produzirá juros iguais a j.


















Solução do exemplo acima:








Ao final de um ano os juros produzidos foram de R$ 20,00.



b) Quais são os juros produzidos por R$ 500,00, durante 3 anos,á taxa de 25% ao ano?
Dados:
c= R$ 500,00
t= 3 anos
i = 25% ao ano
j = ?

Solução:












OBSERVAÇÃO:
No cáculo de juros, a taxa e o prazo deverão estar expressos numa mesma unidade de tempo, isto é, se a taxa for ao ano, o prazo também deve ser ao ano. Se a taxa for em mês, o prazo deverá ser expresso em meses. Se a taxa for ao dia, o prazo deverá ser em dias.

c) Calcular os juros produzidos por R$ 1 600,00, ao fim de 5 anos à taxa de 30% ao ano.
Dados:
c = R$ 1 600,00
t = 5 anos
i = 30% ao ano
j = ?
 Solução:
d) Qual o capital empregado que rende juros de R$ 6 400,00 em 4 anos, à taxa de 10% ao ano?
Dados:
c = ?
t = 4 anos
i = 10% ao ano
j = R$ 6 400,00

Solução:
e) O capital de R$ 4 200,00 produziu R$ 15 750,00 de  juros, á taxa de 25% ao ano. Durante quantos anos este capital esteve empregado?
Dados:
c = R$ 4200,00
i = 25% ao ano
j = 15 750,00
t = ?
Solução:

18 de jan de 2014

PORCENTAGEM

Porcentagem ou percentagem - forma de apresentar a razão entre duas grandezas, de modo que o denominador seja 100. A expressão "por cento", vem do latim "percentum". que pode ser representado por %.

Refere-se aos acréscimos ou reduções de preços, números ou quantidades, que tem como base 100 unidades. No dia a dia ouvem-se frases do tipo:
* A reduzão dos preços naquela loja chegou a vinte por cento!
* Cinquenta por cento dos funcionários de uma determinada empresa ganham menos de três salários mínimos.

Quando ouvimos que a redução dos preços foram de 20%, devemos entender que em cada R$100,00 houve uma redução de R$ 20,00.

O mesmo acontecem com os aumentos. O salário mínimo para 2014 teve um reajuste de 6,78%, isto é, de cada R$100,00 houve um aumento de R$ 6,78.

Com o estudo de porcentagem podemos cálcular:
* as comissões,
* os lucros,
* as perdas,
* os juros,
* as misturas,
* as corretagens, etc.

RAZÃO CENTESIMAL 

Razão centesimal é aquela na qual o consequente é 100.































A taxa porcentual ou taxa percentual pode ser representado simplemente pela letra i.
logo as expressões  que são taxas porcentuais 15%, 45%, 70%= i.

* Em cada R$ 100,00 de vendas efetivadas, a loja B paga R$ 2,00 de comissão a seus vendedores.














TRANSFORMANDO UMA FRAÇÃO QUALQUER EM TAXA PORCENTUAL


Para encontrar a taxa porcentual, existe várias maneiras de se chegar ao resultado:






































Considerando que a porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor.
Exemplo: Carlos tinha 40 cavalos. Vendeu 50% dos seus cavalos, quantos cavalos ele vendeu?
Para encontrar esta resposta, devemos aplicar a taxa percentual de 50% sobre o total de cavalos.
















Logo Carlos vendeu 20 cavalos. O que representa a porcentagem de 50%.

RESOLVENDO PROBLEMAS DE PORCENTAGENS

Podemos resolver os problemas sobre porcentagem através da fórmula que apresentamos abaixo:
Significado das letras:
p - porcentagem
i - taxa
c - capital ou o principal




Exemplos:
a) Calcule 25% de R$ 3 700,00.
DADOS:
c=R$ 3 700,00
i=25%
p=?
Fórmula












b) O preço de um fogão é de R$ 540,00. Na compra à vista, ele teve um desconto de 11%. Qual é o valor do desconto em reais. Qual é o preço do fogão na compra à vista?
DADOS:
c=R$ 540,00
i= 11%
p=?













c) Uma turma de 40 alunos foram aprovados 95% desses alunos. Quantos alunos foram aprovados?
DADOS:
c=40
i=95%
p=?
Fórmula:



d) O preço de um aparelho era de R$ 1500,00. Durante uma liquidação, teve um desconto de 20%. Qual o preço desse aparelho nessa liquidação?
DADOS:
c=R$ 1500,00
i=20%
p=?








12 de jan de 2014

EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Equação - é qualquer sentença matemática aberta expressa por uma igualdade

Em uma equação existe uma ou mais letras que representam números desconhecidos. Estas letras são chamadas de INCÓGNITA.

Exemplos de equações:
2x + 1 = 19 → x é a incógnita.                                        y + 3y = 100   → y é a incógnita.
x2 – 25 = 0  → x é a incógnita                                        y2 – 6y  + 9 =0 →y é a incógnita.

 

IGUALDADE


As sentenças matemáticas que representam igualdade são expressas pelo sinal = (igual). De modo geral podemos representar uma igualdade por a = b, onde a e b são nomes diferentes para o mesmo número.
Ex1: 6 + 4 = 10                                                                                        Ex2:  23 – 5 = 3
  A expressão matemática situada à esquerda do símbolo = é denominada 1º membro da igualdade.
A expressão matemática situada à direita do símbolo = é denominada 2º membro da igualdade.
Exemplo:



PROPRIEDADES DA IGUALDADE

Propriedade reflexiva






Propriedade simétrica





Propriedade transitiva





COMO RESOLVER EQUAÇÕES DO 1º GRAU

Princípios de equivalência


OBSERVAÇÂO: Serão muito úteis na resolução de equações.

1º) Princípio aditivo da igualdade:

Adicionando um mesmo número aos dois membros de uma igualdade, obtemos uma nova igualdade, ou seja:



Exemplos:
a) 5 + 3 = 8   
( 5 + 3) + 2  =  (8) + 2      adicionamos +2 aos dois membros.

b) 5 + 3 = 8
(5 + 3) -2 = (8) – 2     →  adicionamos -2 aos dois membros.

Ao  adicionamos ou subtrairmos um mesmo número dos dois lados de uma igualdade, obteremos uma nova igualdade. Veja o exemplo:
x + 3 = 8
x +3 – 3 = 8 – 3
x = 5

2º) Princípio multiplicativo da igualdade:

Ao  multiplicarmos ou dividirmos por um mesmo número diferente de zero, os dois lados de uma igualdade,  obtermos uma nova igualdade.
a = b 
a . c = b . c, com c ≠ 0

Exemplos:   
a) 5 + 3 = 8
(5+3) . 2  = (8) . 2  → multiplicamos os dois membros por 2.

b) 7+2 = 9
    (7+2) .4 = (9) . 4

c) 2x = 12
2.(2x) = 2. 12
4x = 24 
4       4
x=6

d) 2x = 12
2x  =  12
2         2 

x = 6

CONJUNTO UNIVERSO E CONJUNTO SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO

Dentre os elementos do conjunto A={ 0, 1, 2, 3, 4, 5}, qual deles podemos colocar no lugar da letra x para tornar verdadeira a equação x + 2 = 6?

Equação dada: x + 2 = 6
Conjunto universo: U = { 1, 2, 3, 4, 5}
Conjunto solução: S = {4}
Solução ou raiz da equação: o número 4.


                                                            EQUAÇÕES EQUIVALENTES

Em um mesmo conjunto universo, duas ou mais equações que apresentam o mesmo conjunto solução (não – vazio) são denominadas equações equivalentes.

Exemplo:
x + 3 = 8  ---------------------------→equação dada para a qual S = {5}
x + 3 + 1 = 8 + 1  ------------------→equação dada para a qual S = {5}
x + 4 = 9  ---------------------------→equação dada para a qual S = {5}

                                      

                                          EQUAÇÃO DE 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

Resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, dentro de um conjunto universo, significa determinar a solução ou raiz dessa equação, caso exista. Veja o exemplos:











































OBSERVAÇÃO:
Para resolver uma equação de 1º grau, devemos proceder da seguinte maneira:

1º) Elimina-se os denominadores, se houverem;

2º)Efetua-se as multiplicações indicadas;

3º)Transpõe-se para o primeiro membro, todos os termos que contiverem a incógnita, que estiverem no segundo membro;

4º)Transpõe-se para o segundo membro, todos os termos independentes que estiverem no primeiro membro;

5º)Reduz-se os termos semelhantes;

6º)Divide-se toda a equação pelo coeficiente da incógnita.

Exemplos:Resolver as equações abaixo: 

















 

 

 

 















 

EQUAÇÃO DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS

Toda equação que pode ser reduzida a equivalência da forma ax + by = c, com a ≠0 e b ≠0, denomina-se equação do 1º grau com duas incógnitas, x e y .
Exemplos
a)2x + 5y = 16                                                          b) 3x – 7y = -12

Uma equação de 1º grau com duas incógnitas tem infinitas soluções. Cada solução da equação é um par ordenado de números.
Exemplos:
a)2x + 5y = 16    temos como solução: S={3 , 2} ou {- 2 , 4}  entre outras.
b) 3x – 7y = -12 temos como solução: S= {10, 6}  ou {3, 3} entre outras.



SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS INCÓGNITAS


Os exemplos dados abaixo são chamados de sistemas de equação de 1º grau. Existem três maneiras de resolver um sistema de 1º grau. Pelo método da substituição, método da comparação e método da adição.







1º) MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO








1º passo: vamos determinar o valor de x, na primeira equação.

x+y = 4

x= 4 - y

2º passo: substitui o valor de x na segunda equação.

2(4 – y) + y = 7
8+(-8) -2y + y = 7+( -8)
-2y + y = - 1
-y = -1  → multiplica-se por (-1)
y=1

3º passo: substitui o valor de y na primeira equação.

x + y = 4 
x + 1 = 4 
x = 4 – 1
x= 3
Solução do par ordenado {3 , 1}

2º) MÉTODO COMPARAÇÃO







Tirando-se o valor de x em cada equação;

x=5 – y         →  1ª equação
x=1 + y         →  2ª equação

Comparando-se os dois valores e resolvendo a equação temos,
5 – y = 1 + y
- y – y = 1 – 5
-2y = - 4     → multiplicando-se por ( - 1)
2y = 4
2      2
y = 2

Substituindo o valor de y na primeira equação
x + y = 5
x + 2 = 5
x + 2+(-2) = 5+(-2)
x= 3
S= { 3, 2}

 

3º) MÉTODO DA ADIÇÃO

Para resolver um sistema de 1º grau pelo método da adição, em primeiro lugar devemos eliminar uma das incógnitas.






















                                                             

                                                        



                                                          


                                             EQUAÇÕES FRACIONÁRIA










































                                          SISTEMAS DE EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS

Como resolver sistemas de equações fracionárias;

1º pega-se cada uma das equações e  igular os denominadores, calculando o m.m.c.
2º eliminando os denominadores;
3º montando o novo sistema, sem os denominadores;
4º e usando qualquer um dos métodos já estudado, resolve o sistema.



Outro exemplo: