29 de jul de 2014

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU ( FUNÇÃO QUADRÁTICA)

A função polinomial do 2º grau ou função quadrática é toda função escrita y=ax2 + bx + c,  ou
 f(x) = ax2 + bx + c
sendo a, b e c números reais.



São exemplos de  funções do 2º grau:
a) y=x2 + 2x – 8                                     b) y= x2 – 9                                          c) y=-3x2 -2x + 1

GRÁFICO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA


O gráfico da função do 2º grau é representado por uma curva chamado de parábola.




ZEROS DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU


Quando delta for maior que zero a função y= ax2 + bx + c, tem duas raízes reais diferentes, isto é, o gráfico corta o eixo de x em dois pontos.
Quando delta for menor que zero a função y= ax2 + bx + c, não tem raízes reais.
Quando delta for igual a zero a função y= ax2 + bx + c, tem uma única raiz real  diferente, o gráfico tangencia o eixo de x.



Exemplo: Determinar as raízes da função a seguiry = x2 + 2x – 3
Igualando a função a zero, transformamos em uma equação de 2º grau
x2 + 2x – 3=0
Identificando os termos da função;
a=1    b=2  c=-3
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. 


Obs: Nesta função o gráfico corta o eixo de x( eixo das abscissas)  em dois pontos são -3 e 1. Veja o gráfico abaixo como ficou:




2. Determinar as raízes da função a seguir: y = x2 + 3x + 5 
Igualando a função a zero:  x2 + 3x + 5=0   

Termos: a=1  b=3  c= 5
A equação não tem solução no conjunto dos reais, sendo assim observe como fica o gráfico dessa função.
Obs: Nesta função o gráfico não corta o eixo de x( eixo das abscissas. Veja o gráfico.




3. Determinar as raízes da função a seguir: y = x2 – 4x + 4    
 Igualando a função a zero:  x2 -4x + 4=0   

Termos: a=1  b=-4  c= 4


Obs: Nesta função o gráfico corta o eixo de x( eixo das abscissas)  em um único ponto 2. Veja o gráfico.



O quadro abaixo mostra todas as possibilidades considerando sua concavidade.




Obs: Quando a>0 significa que a parábola tem a concavidade voltada para cima.
          Quando a < 0, significa que a parábola tem a concavidade voltada para baixo.

COMO CONSTRUIR O GRÁFICO DA FUNÇÃO


1- Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y =x2 - 9
Atribuindo alguns valores para x, encontramos o valor de y.

y =x2 - 9
Y = (-4)2 – 9 = 16 – 9 = 7     
Y = (-3)2 – 9 = 9 – 9 = 0
Y = (-2)2 – 9 = 4 – 9 = -5
Y = (0)2 – 9 = 0 – 9 = -9
Y = (2)2 – 9 = 4 – 9 = -5
Y = (3)2 – 9 = 9 – 9 = 0
Y = (4)2 – 9 = 16 – 9 = 7

veja como fica a tabela abaixo. No plano cartesiano vamos marcar os pontos encontrados e traçar o gráfico.
x
y
(x,Y)
-4
7
(-4,7)
-3
0
(-3,0)
-2
-5
(-2, -5)
0
-9
(0, -9)
2
-5
(2,-5)
3
0
(3, 0)
4
7
(4,7)












Veja que o gráfico corta o eixo das abscissas nos pontos -3 e 3, enquanto que o ponto mínimo da parábola  tangencia o eixo de y em -9.




2- Construir o gráfico da função: y= x2 + 4x – 5






O gráfico corta o eixo das abscissas nos pontos -5 e 1, enquanto que o ponto mínimo da parábola  tangencia o eixo de y em -9.
Quando a parábola tem a concavidade voltada para cima dizemos que a função possui um MÍNIMO.



3- Construir, no plano cartesiano, o gráfico da função y =-x2 - 4

Atribuindo alguns valores para x, encontramos o valor de y. Depois traçar o gráfico e marcar os pontos.
y =-x2 - 4
Y = -(4)2 – 4 = -16 – 4 = -20
Y = -(3)2 – 4 = -9 – 4 = -13
Y = -(2)2 – 4 =- 4 – 4 = -8
Y = -(0)2 – 4 = 0 – 4 = -4

x
y
(x,Y)
-4
-20
(-4, -20)
-3
-13
(-3, -13)
-2
-8
(-2, -8)
0
-4
(0, -4)










4- Construir o gráfico da função: y= - x2 + 4x – 5



O gráfico tem como vértices (2, -1)
O gráfico não corta o eixo das abscissas no ponto, isto é, não tem raízes nos reais.
Quando a parábola tem a concavidade voltada para baixo dizemos que a função possui um MÁXIMO.



1º Determinar as coordenadas do Vértice: V(Xv, Yv).
2º Organizar uma tabela, onde se atribuir alguns valores menores que Xv  e alguns valores maiores que Xv .
3º Marcar os pontos no plano cartesiano no eixo das x (abscissas)  e eixo das y( ordenadas).
4º para finalizar é só ligar os pontos construindo a parábola.

O VÉRTICE DA PARÁBOLA: As coordenadas do vértice da parábola são dadas por:


Exemplos:

1) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)=x2 – 2x – 8


A função tem o mínimo igual a -9.

Outra maneira para encontrar o vértice de y,  substituir o valor encontrado de x na função. Veja como fica:
f(x)=x2 – 2x – 8
y= 12 – 2 .1 – 8
y= 1 – 2 – 8 = -9

Vejamos o gráfico dessa função:



A função tem o mínimo igual a -9.
Outra maneira para encontrar o vértice de y,  substituir o valor encontrado de x na função. Veja como fica:
f(x)=x2 – 2x – 8
y= 12 – 2 .1 – 8

y= 1 – 2 – 8 = -9


2) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)= - x2 +  6x – 9



A função tem o máximo igual a 3.
Outra maneira para encontrar o vértice de y,  substituir o valor encontrado de x na função. Veja como fica:
f(x)=-x2 – 6x – 9
y= 32 – 6 .(-3) – 9
y=  - 9 +18 – 9 = 0


3) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)= - x2 -  2x +1


A função tem o máximo igual a 2.


4) Achar o máximo ou o mínimo da função f(x)= x2 + 3x - 4




Em uma outra postagem estudaremos OS SINAL DA FUNÇÃO.


58 comentários:

  1. calcule a raiz de cada função, em seguida construa o grafico a) f(x)=2x-3 b) f(x)=-x+2 c)f(x)=-3x-4 d)f(x)=x-1

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  2. Como acho a, b c se y=(x-3).(x+2)

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    1. Sinal para indicar x ao quadrado " ^ "
      1° resolve os produtos dentro dos parênteses
      y= x^2 + 2x - 3x - 6 simplificando ou reduzindo
      y= x^2 - x - 6 observe que temos uma função do 2° grau (x^2 - x - 6 = 0)

      a= 1
      b= -1
      c= -6

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  3. Gente por favor me ajudem não sei fazer esses construção de gráficos a) x²-4x+4
    b) -x²+4x+4 c) x²-4 d) x²+3x

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    1. O certo é você seguir os passos ensinados na postagem para construir seus gráficos.

      No início do meu blog tem uma pasta como o nome "DICAS" lá você vai encontrar um aplicativo que vai lhe dar o desenho do gráfico.

      Maneira de escreve sua função para que o aplicativo possa dar a resposta correta.

      Sinal usado para dizer que um número é elevado ao quadrado "^"

      Escreva assim:
      y = x^2 - 4x + 4
      Ele vai dar o gráfico dessa função.
      y=x^2 + 4x + 4

      E assim por diante.



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    2. A letra B escrevi errado esta faltado o sinal de menos

      a) y=x^2 - 4x + 4
      b) y=-x^2 +4 + 4
      c) y=x^2-4
      d) y=x^2 +3x

      Basta escreve cada função no aplicativo como foi explicado acima.

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  4. Sem fazer o gráfico, determine as cordenadas do vértice (xv yv) dos pontos em que a parabola corta o eixo x: a) -2x ao quadrado +12x. Alguém mim ajude pra hj pra agora.

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  5. Sem fazer o gráfico, determine as cordenadas do vértice (xv yv) dos pontos em que a parabola corta o eixo x: a) -2x ao quadrado +12x. Alguém mim ajude pra hj pra agora.

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    1. Sua função pelo que entendi é y = -2x^2 + 12x ou f(x) = -2x^2 + 2x é a mesma coisa simbolo usado para dizer que -2x elevado ao quadrado (^)

      Antes vou dividi os valores de a e b por 2. Ficando assim: y = -2x^2 + 12x

      O vértice de x divide a parábola ao meio, nesse caso as raízes vai ser ( 0, 6)

      Para encontrar o vértice de x é só dividi o valor de b por 2a ( b/2a ). Em seu caso 6/2 que vai ser 3.

      Para encontrar o vértice de y é só dividi -delta por 4a. Em seu caso 36/4 que vai dar 9
      Vx = 3
      Vy = 9

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  6. Dada a função y==x²-2x-4, esboce a parábola achando as raízes, o xv e o yv???

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    1. Gabrielly, aqui nos comentários não tem como tirar suas dúvidas.
      Para encontrar as raízes é só você resolver a equação do 2° grau. x²-2x-4=0
      Que são os valores (raízes de x), onde a parábola corta o eixo de x.

      O vértice de Vx é a parte onde a parábola é divido ao meio, isto é, o meio da parábola.
      O vértice de Vy é a parte onde mostra a curvatura toca o eixo de y.

      No meu blog tem uma pasta com o nome "DICAS" lá tem um aplicativo que pode ajudar.
      Digite: x^2-2x-4=0.

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  7. Padre me ajuda. Frazer essa
    F(x)=4X-4 depois está assim determine o zero (valor de x quando f(x)=0)da função

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    1. F(x)=4x-4 essa é uma função do 1° grau.
      4x-4=0 divide os dois membros por 4 para encontrar o valor de x ou seja, o zero da função. Que é a raiz que ao ser substitiuda no x anula a função.

      4x-4=0
      x=4/4 ( sinal para indicar divisão /)
      x=1 (raiz ou zero da função)

      A questão ainda pede o seguinte f(x)=0
      É só substitui na função o x por 0 r resolver.

      f(0)= 4x-4
      f(0)= 4. 0 - 4
      f(0) = 0 - 4
      f(0) = - 4

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  8. QUANDO E DADA A FUNÇÃO F(X)= X2 + 6X - 12

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    1. Você não diz o que quer, se o gráfico da função ou o zero da função, ( zero da função são as raízes da função)

      Para calcular o zero das função é só igualar a função a zero e depois resolver como se resolver uma equação do 2° grau.

      x^2 + 6x - 12 =0 (^ sinal para indicar que x foi elevado ao um número)

      No meu blog tem uma pasta com o nome de DICAS lá tem um aplicativo que pode te ajudar.
      Digite assim

      x^2 + 6x - 12 = 0

      Boa sorte

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  9. Como represento em um mesmo sistema cartesiano a função, y = X² ?

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  10. Como represento em um mesmo sistema cartesiano a função, y = X² ?

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    1. É só atribuir alguns valores para x que você vai encontrar o valor de y. Lembrando que se trata de uma função do 2º grau.
      Exemplo:
      quando x=0 ---- y será( y=0 )
      quando x=2 ------ y=4
      x= -2 ----------- y= 4

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  11. Construa no plano cartesiano o gráfico da função f (x)=-x^2+6x-5 por favor me ajude

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  12. Construa no plano cartesiano o gráfico da função f (x)=-x^2+6x-5 por favor me ajude

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  13. Construa no plano cartesiano o gráfico da função f (x)=-x^2+6x-5 por favor me ajude

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  14. Construa no plano cartesiano o gráfico da função f (x)=-x^2+6x-5 por favor me ajude

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    1. No blog tem uma pasta com o nome de DICAS lá tem um aplicativo que vai dar o gráfico.
      Digite -x^2+6x-5=0
      Para entende função do 2° grau, antes devemos estudar equações do 2° grau. Uma coisa esta relacionada com a outra.

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  15. Oque eu faço quando eh assim 2 (x²-2x+6) ?????
    Ajudem-me pfvrrrrrr

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    1. Pelo que você escreveu trata-se de uma equação do 2º grau completa. O número 2 que esta fora dos parenteses, é multiplicado por cada um dos valores que estão dentro. Depois é só resolver.
      2x² - 4x + 12

      Neste blog tem o assunto e na pasta por nome DICAS tem um aplicativo que vai dar os valores das raízes.

      Para digitar no aplicativo, digite assim: 2x^2-4x +12=0

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    2. Com relação a sua questão você ainda deve lembrar que se menor que zero, no conjuntos dos números reais não tem raiz. Delta nesse caso deu -80. Sendo assim não tem raiz.

      Observação: Se você faz o ensino médio e já estudou ou esta estudando o conjunto dos números complexos, você deve ter aprendido que nesse caso os números negativos tem raiz.

      Ao usar o aplicativo você vai encontrar x'= 1-i raiz quadrada de 5 x''=1+i raiz quadrada de 5

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  16. Respostas
    1. Boa noite Maria! Não consegui entender a sua expressão matemática. Veja no youtube digite o nome do assunto e veja lá alguns vídeos, para que possa tirar suas dúvidas. Boa sorte.

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  17. Como resolver essa função y=(x-3)²

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  18. Construa o gráfico da função quadratica
    A) y=3x²-3x+1
    B) y=x²+8x

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    1. Bom dia Carina! O espaço aqui não dar para construir gráfico. No meu blog tem um aplicativo que vai te ajudar ele fica na pasta de DICAS.

      A letra (A) delta é menor que zero. logo a parábola não corta o eixo de x.
      Você pode atribuir valores para x e encontrar o valor de y. Depois é só marcar no plano cartesiano esses pontos e traçar sua parábola. Veja o exemplo.
      y=3x²-3x+1
      y=3.1²-3.1+1
      quando x for 1 y=1
      y=3x²-3x+1
      y=3.2²-3.2+1
      y=7
      quando x for 2 y=7 ( assim por diante, depois é só traçar os pontos marcado no plano cartesiano)

      B) y=x²+8x essa tem raízes, isto é, o eixo de x vai ser cortando em zero ( 0) e em (-8)
      Você pode fazer o mesmo processo que foi feito para encontrar outros pontos, depois é só marcar no plano cartesiano e traçar seu gráfico.


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    2. ALGUÉM ME AJUDA , NÃO SEI NEM COMO COMEÇAR A FAZER UM GRÁFICO

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  19. Construa no plano cartesiano o gráfico da função f (x)=x^2+x-6 Por favor me ajude

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  20. Construa no plano cartesiano o gráfico da função f (x)=x^2+x-6 Por favor me ajude

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  21. Construa no plano cartesiano o gráfico da função f (x)=x^2+x-6 Por favor me ajude

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  22. Professor me ajude por favor.é pra hoje essa questão.

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  23. Professor me ajude por favor.é pra hoje essa questão.

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  24. Me ajude nesta questão pfvr..a) Y=x^2-2x

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    1. Zelia Ramos, você não disse qual é o problema. Se o zero da função (raízes) ou gráfico.

      Para o zero da função você deve antes transformar a função em uma equação,que nesse caso é uma equação do 2°grau, isto é, no lugar de y coloco um zero.
      Y=x^2-2x
      x^2-2x = 0 (equação do 2° grau incompleta. Tenho a=1 e b= -2)
      Colocando x em evidencia, efetuando a divisão.
      x^2-2x = 0
      x(x-2) = 0 igualando x=0 esse é uma raiz
      x-2 igualando
      x-2=0 jogando -2 para o segundo membro, lembrando de mudar o sinal.
      x=2 essa é a segunda raiz.

      Boa sorte.

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  25. Y=-2x^2+4x+6 me ajude x',x",xv,yv

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    1. Y=-2x^2+4x+6 me ajude x',x",xv,yv

      Para encontrar as raízes ou zero da função, você deve igualar a função a zero, transformando em uma equação do 2° grau. Depois é só resolver.


      -2x^2+4x+6=0

      x'=-1
      x''=3 são as raízes da equação.

      Para encontrar o vértice de x e o vértices de y no blog tem uma explicação passo a passo.

      Vx= 1

      Vy=8
      Boa sorte

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  26. Determine as raízes reais se houver, e esboce os gráficos das seguintes funçoes : y = x² - 3

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  27. Determine as raízes reais se houver, e esboce os gráficos das seguintes funçoes : y = x² - 3

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  28. y= 3 x^{2} +2 \sqrt{3} x+1 como faz para resolver essa questao quando tem raiz

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    1. Pelo que entendi tratar-se de uma função do 2° grau.
      Para encontrar a raiz de qualquer função seja ela do 1º ou do 2º grau, você antes tem que igualar a zero.

      Depois resolve do seguindo os passos aprendido antes quando estudou equações do 1º grau ou 2° grau.

      O que é igualar a zero?
      É simples basta você tirar o y e no lugar colocar zero. Você vai ver que ficou uma equação, em seu caso uma equação do 2° grau.

      Do jeito que você escreveu sua função não ficou muito claro não.

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  29. f (x)=ax^+bx+x.sabendo que f (1)=4, f (2)=0 e f (3)= -2

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    1. Não entendi a questão. Se você aprendeu equação do 2º grau na 8ª série você vai consegui resolver função, seja ela do 1º grau ou do 2º grau. É só igualar a função a zero e calcular as raízes depois construir o gráfico.

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    2. Quando o professor dar uma função e logo em seguida colocar algo como f(2)=..... Ele esta pedido que você substitua na função dada o X pelo valor dado no parenteses, depois é só efetuar as operações indicadas na função.

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  30. Me ajuda!!! Quando tenho uma função quadrática que é assim:
    y=-2x^2+72
    Preciso do zero da função, e o gráfico...
    tem outra que é assim:
    y=-x^2+4x
    Novamente, preciso do zero da função eo gráfico... por favor, eu não entendi isso .-.

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    1. Carlos Você para encontra o zero da função é fácil. Você tira o y ( ou f(x) )
      e iguala a zero. Resolve do mesmo jeito que você aprendeu em equação do 2º grau.

      O zero da função na verdade é as raízes dessa função, isto é, o número que substituindo na função original vai zerar a função.

      Quanto ao gráfico aqui não dar para fazer.

      y=-2x^2+72

      2x^2 - 72 =0 ( você pode dividi ambos membros por 2 ficando assim.

      x^2 - 36 = 0 ( coloque 36 dentro do radical para tirar a raiz) nesse espaço não é possível desenha o radical. Outro desenho que não é possível depois do x coloque o sinal de mais e menos

      x = Mais ou menos raiz quadrada de 36. Extraindo a raiz.

      x= 6
      x= -6
      O gráfico vai contra nesses dois pontos. E a boca da parábola vai esta voltada para baixo.



      y=-x^2+4x

      -x^2 + 4x =0
      x^2 - 4x = 0 ( insolando o x e dividindo ao mesmo tempo)

      x( x - 4) = 0
      x = 0 primeira raiz.

      (x - 4)
      x-4 = 0
      x = 4 segunda raiz

      o gráfico vai passa por esse pontos.


      No meu blog tem uma PASTA com o nome DICAS, nela você pode digita cada uma das funções, do mesmo jeito que você escreveu aqui, que ele vai dar o desenho do gráfico de cada uma das funções.






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  31. Eu quero um gráfico é uma tabela dessa função f(x)=3-2

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    1. f(x)=3-2 eu não entendi. Aqui neste espaço dos comentários é impossível traça qualquer gráfico.

      No meu blog tem uma pasta de DICAS, lá tem um aplicativo que vai fazer isso para você.
      Agora tem que escreve a função correta.

      Do jeito que você fez ele não vai aceita.

      Se for do primeiro grau você deve digitar
      Exemplo:
      3x-2=0

      Se for do segundo grau
      Lembre que no aplicativo tem uma explicação de como digitar.
      Por exemplo:
      um número elevado a outro.

      3^2
      Multiplicação
      3*2

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  32. construa o grafico da função y=x ao quadrado-2x-3 quanndo indentificando os coeficientes a b e c?

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  33. Dada a função y=x²-5x+6 construa uma tabela atribuindo valores inteiros entre -2 e 5 para a variavel x e construa o seu grafico

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    1. O professor deu a função e disse para você atribuir valores entre -2 e 5 e depois construir o gráfico.

      Exemplo: No lugar onde tive x você substitui pelos valores,para encontrar o valor de y
      y=x²-5x+6
      y=(-1)²-5(-1)+6
      Y=1+5+6= 12
      y=x²-5x+6
      y=(0)²-5(0)+6 =6

      y=(1)²-5(1)+6 =2
      y=(2)²-5(2)+6 =0
      y=(3)²-5(3)+6 =0

      Você vai marcar no plano cartesiano esses pontos.

      Observe que 2 e 3 (raízes) são por onde o eixo da parábola vai corta o eixo de x.

      Os pontos de y=( 0, 2, 6, 12, ...)
      Os pontos de x=(-1, 0, 1, 2, 3, 4,...)

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