26 de fev de 2014

MONÔMIOS E POLINÔMIOS


Monômios - Expressão algébrica que contém parte literal (letras), chamada de variaveis e coeficientes. (números). 

Polinômios - Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles.

Expressões algébricas ou literais são toda expressão matemática que apresenta números e letras ou somente letras.

Exemplos:
a) x – y=10
b) 3x + 2y
c) 4x-3
As letras são chamadas de variáveis.

Estudo dos polinômios

 

Monômio é toda expressão representada apenas por números ou apenas por uma letra (variável) ou por um produto entre constantes e variáveis.

Exemplos:
a) 5y         
   5 – coeficiente
   y – parte literal

b) 6xyz 
     6 – coeficiente
     xyz – parte literal                

c) -17 → coeficientes (não tem parte literal).
d) –x
-1  coeficiente
x - parte literal

e) y
1 – coeficiente
y - parte literal
f) 0x
0 - coeficiente
x - parte literal  (monômio nulo).

 

Monômios semelhantes

Os monômios que possuem a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes.
a) 8xy  e -10xy → parte literal xy.
b) -5x2y3  e  x2y3 →parte literal x2y3.

Grau de um monômio

O grau de um monômio pode ser identificado de duas maneiras.
1º CASO: pela soma dos expoentes das variáveis.
■3x2y4y - (2+4+1) é do 7º grau.
■2y6 - é do 6º grau.
■ 8 - é do zero grau.

2º CASO: o grau de um monômio pode ser dado em relação a uma de suas  variáveis.
■x2y - do 2º grau em relação a x,  e  do 1º grau em relação a y.

 

OPERAÇÕES COM MONÔMIOS


ADIÇÃO ALGÉBRICA DE MONÔMIOS

Quando as partes literais são semelhantes, soma algebricamente os coeficientes, e repete-se a parte literal.

Exemplos:
a) 6xy +2xy+xy=  (6+2+1=9) = 9xy                           

b)  4yz – yz = (4-1=3) = 3yz

            
d) a2+6a2-2a2
 ( 1+6-2) = 5 - repete-se a parta literal ficando assim.

    5a2


MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS


Multiplicam-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.

Exemplos:
a) (6x3y2) . (3xy2)= (6 . 3) (x3 . x) (y2 . y2)  = 18x4y4

b) x5.x3 = x8      Aplicando  uma das propiedades de potenciação visto no 7º ano. Em diz que, bases iguais repete-se a base e soma-se os expoentes.



DIVISÃO DE MONÔMIOS

Divide-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.
Para a parte literal veja uma das propriedades das potências, (conteúdo visto no 7º ano). Divisão de potência de mesma base, repete-se a base e subtraem os expoentes.
Exemplos:
a)y7 : y3 = y7-3  = y4

b)(-32x4) : (-8x)
    (-32) : (-8) x4-1 = 4x3

c) 15x6 : 3x2  = 5x4
Observação:
Nem toda divisão de um monômio por outro monômio resulta em um novo monômio. Quando isso acontece e chamado de frações algébricas.
Exemplos:



OPERAÇÕES ALGÉBRICAS COM POLINÔMIOS

Quando efetuamos uma adição algébrica entre monomios, denomina-se polinômio.
Veja os polinômios abaixo:
a) 10x + 2y + 4
b) 5x + 3y
c) 7x – 2y

GRAU DE UM POLINÔMIO

O grau de um polinômio é dado pelo termo de maior grau ou pode ser em relação a uma determinada variável.
 Exemplos:
a) x3y  –  3x4y3  +  8xy2
     ↓           ↓           ↓
4º grau   7º grau   3º grau


 b) a) x2    3x2y2  +  4xy
     ↓             ↓             ↓
2º grau   4º grau   2º grau


c) x4y + 5x3y
4º grau em relação a x, e  5º grau em relação a y).

ADIÇÃO ALGÉBRICA DE POLINÔMIOS

Para adicionar polinômios é adiciona-los os termos semelhantes.
Exemplos:
a)( x2 -  9x + 5) + (3x2 + 7x -1)
 (x2 + 3x2) +(-9x + 7x)+( 5 – 1)
   ( 4x2            - 2x       +    4 ) = 4x2 - 2x + 4

b) (15a – 7b + 4c) + ( -8b + 3c – 9a)
     15a – 7b + 4c -8b + 3c – 9a
      (15a – 9a)+( -7b – 8b) +( 4c + 3c)  =  6a – 15b + 7c


c) (2y2 – 3ay + 4a2) – ( ay – 5y2 –a2)
    2y2 – 3ay + 4a2 –  ay + 5y2 + a2
    (2y2 + 5y2 )+(– 3ay – ay) +( 4a2 + a2)   =  7y2  – 4ay  + 5a2

MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS


Multiplicação de um monômio por um polinômio.
Multiplica-se o o monômio por cada um dos termos do polinômio.
Exemplo:
a) 2x . (3x +y)
(2x . 3x) +( 2x . y) =  6x2 + 2xy

b) 2x.(5x + 4)
(2x . 5x) +( 2x . 4) = 10x2 + 8x

c) 2x . ( x + 4)  outra maneira de multiplicar polinômios

x + 4
X   2x
2x2 + 8x

MULTIPLICAÇÃO DE UM POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO


Multiplica-se cada termo do primeiro por cada termo do segundo. Usando a distributiva.
Exemplos: 
a) (x + 7) . ( x + 5)
(x . x + x . 5) + (7 . x + 7 . 5) =
x2   +   5x    + 7x   +  35  =  x2   +   12x   +  35

b) (3x + 2y) . ( 3x – y)
     3x  + 2y
x    3x  –  y                      
        -3xy – 2y2
9x2 + 6xy – 2y2
9x2 + 3xy – 2y2

Três maneiras diferentes de encontrar o produto de polinômios.

1ª maneira:

Exemplo: Multiplicar f(x)= x+ 2x2 + 3x3 por g(x) = 4 + 5x + 6x2

Resolução:
Pega-se um elemento do primeiro e multiplica-se por todos elementos do segundo, isto é, aplica-se a distributiva.
Vejamos como fica

(f.g)=( x+ 2x2 + 3x3)( 4 + 5x + 6x2)
x(4 + 5x + 6x2) + 2x2(4 + 5x + 6x2) + 3x3(4 + 5x + 6x2)
(4x + 5x2 +6x3) + (8x2 + 10x3 + 12x4) + (12x3 + 15x4 + 18x5) adicionados os iguais
 4x + 13x2 + 28x3 + 27x4 +18x5


2ª maneira:

Exemplo: Multiplicar f(x)= x+ 2x2 + 3x3 por g(x) = 4 + 5x + 6x2

Resolução:
Utilizando uma tabela onde se coloca os coeficientes na horizontal e na vertical. Vejamos como fica

           g

f
4
5
6

0

            
      0

      0

      0

1


     4

    5

     6

2


    8

   10

    12

3


    12

   15

    18

Primeiro multiplica-se cada elemento de f por cada elemento de g.
Segundo somamos os produtos (resultado da multiplicação) de cada diagonal, como mostra a tabela.

S=0
S1=4+0=4
S2=8+5+0=13
S3=12+10+6=27
S4=15+12=27
S5=18
Resultado final:
(f.g) = 4x + 13x2 + 28x3 + 27x4 +18x5

3ª maneira:

Exemplo: Multiplicar f(x)= x+ 2x2 + 3x3 por g(x) = 4 + 5x + 6x2

Resolução:
Multiplica-se cada elemento de baixo por todo os elementos de cima. Vejamos como fica.




DIVISÃO DE POLINÔMIO POR MONÔMIO


Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio.
Exemplos:
a) (-28x4 + 8x2) : (4x2)
(-28x4 : 4x2) + (8x2 : 4x2) =   -7x2  + 2
          ↓                   ↓
        -7x2         +       2



















PRODUTOS NOTÁVEIS


QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do termo primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Exemplos:
a) (x + y)2
(x + y) . (x + y)
x .x + x.y + y.x + y.y
x2 + xy + xy + y2
x2 +2 xy + y2


b) (3x + 5)2
(3x + 5) . (3x + 5)
3x . 3x + 3x . 5 + 5 . 3x + 5 . 5
9x2 + 15x + 15x + 25
9x2 + 30x + 25


QUADRADO DA DEFERENCIA DE DOIS TERMOS
É igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
a) ( x- y)2
(x – y) . (x – y)
x.x – x.y – y.x + y.y
x2 – xy – xy + y2
x2 – 2xy + y2


PRODUTO DA SOMA PELA DEFERENCIA DE DOIS TERMOS
É igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

a) (x + y) . (x – y)
x.x – x.y +y.x – y.y
x2 – xy + xy – y2
x2 – y2

a) (3x + 5) . (3x - 5)
3x.3x – 3x.5 + 5.3x – 5.5
9x2 – 15x + 15x – 25
9x2  – 25


CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
a) (a + b)3
(a + b)2 . (a + b)
(a2 + 2ab + b2). (a + b)
a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

b) (2x + y)3
(2x + y)2 . (2x + y)
(4x2 + 4xy + y2). (2x + y)
8x3 + 8x2y + 2xy2 + 4x2y + 4xy2 + y3
8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3
                                   
CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
a) (a - b)3
(a - b)2 . (a - b)
(a2 - 2ab + b2). (a - b)
a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3
a3 - 3a2b  + 3ab2 - b3


b) (2x - y)3
(2x - y)2 . (2x - y)
(4x2 - 4xy + y2). (2x - y)
8x3 - 8x2y + 2xy2 - 4x2y + 4xy2 - y3
8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3


19 comentários:

  1. legal tomara que me ajude

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  2. Respostas
    1. Obrigado Sergio Luís, procuro fazer o melhor que posso, para facilitar aqueles que tem um pouco de dificuldade nos assuntos.

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    2. bom, mas faltou divisao de polinomio por polinomio

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    3. Bom dia Daniel Roquim, realmente só agora que notei isso, no blog tem um exercício de polinômios mas, lá eu faço mais divisão de polinômio por monômio. Me parece que só tem uma item de divisão de polinômio por polinômio. Eu prometo que na próxima postagem vou colocar no exercícios mais divisão de polinômios por polinômios.

      Obrigado.

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  3. Parabéns!! Ótima explicação. Simples e objetiva.

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  4. Respostas
    1. Bom dia Matheus Rafael! Boa pergunta essa sua. Você já fez essa mesma pergunta ao seu professor de Matemática? Qual foi sua resposta? Se não fez. Por que não fez.

      Aqui esta um pequeno resumo para sua resposta:
      Onde é usado os conhecimentos adqueridos no estudos dos polinômios?
      São utilizados em várias áreas como por exemplo: na engenharia, medicina, estatísticas, economia, mercados de ações, na física,... etc

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  5. Muito obrigado Vergniaud S me ajudou muito

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  6. Como identifico se uma função é ou não polinomial?

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  7. O polinômio é uma expressão matemática que envolve letras (incógnitas e números).
    A função seja ela do 1º ou do 2º grau também é uma expressão matemática que envolve (incógnitas e números).
    Enquanto na função usamos apenas duas "incógnitas" que são chamadas de variáveis.
    A função do 1° grau é representado por uma reta. ( y= ax + b)
    y=2x f(x)=2x

    A função do 2° grau é representado por uma parábola. ( y=ax^2 + bx + c) ^ símbolo usando para dizer x elevado ao quadrado.

    y=x^2 + 5x - 4


    No blog têm postagens e exercícios de polinômios, funções.

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  8. Oiieh. Vc pôde men ajudar pq eu não sei fazê essa conta pôde colocar resposta ai pra min por favor

    3a-2b-10,para a =6eb=-3=
    2 2
    m+6mn+n,para m =-3 e n =5
    2 2a-b
    a+a+b quando a =-2 e b=10=

    a+

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    1. É só substituir na expressão os valores dado e efetuar as operações indicadas:

      3a - 2b a=6 b= - 3

      3 . 6 - 2 . (-3)
      18 + 6
      24


      m + 6mn + n m = - 3 n = 5
      -3 + 6 . ( -3) . 5 + 5
      -3 + (-18 ) .5 + 5
      -3 - 90 + 5
      - 93 + 5
      - 88


      a + a + b
      -2 + (-2) + 10
      -2 - 2 + 10
      -4 + 10
      6

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  9. Professor determine o valor numérico da expressão x^2+2xy+y^3,sendo X=_2/3 e 3/5

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    1. Sua dúvida não ficou muito clara não. Vamos lá tentar explicar o que eu entendi
      Foi dada essa expressão:x^2+2xy+y^3

      E ao mesmo tempo foi dado o valor de x = - 2/3

      E esse 3/5 é de x também?

      Como foi dado o valor para x = -2/3, basta você substituir esse valor na expressão acima, trocando x por -2/3.

      Caso você tenha o valor para y, você vai proceder do mesmo jeito.
      Feito isso é só efetuar as operações indicadas.

      x^2 aqui temos uma potencia, ao substituir você resolver a potencia.

      4/9 + 2(-2/3)y + y^3
      4/9 + (- 4/3)y + y^3

      Veja que já foram substituído o x pelo valor que foi dado. Se tiver o valor de y você é só substitui.

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  10. muito bom gostaria de saber como de fais um polinòmio com fraccoes

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  11. Respondendo a pergunta " onde eu uso isso?) do nosso amigo Matheus Rafael.

    EM CONCURSOS PÚBLICOS, pra quem quer ser alguém na vida. ;)

    Obs: Aonde é junto.

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