24 de out de 2013

RAIZ QUADRADA COM NÚMEROS NATURAIS

Quando se quer achar a raiz quadrada de um número, na verdade estamos querendo saber qual o valor do lado de um quadrado.
Para calcular a área de um quadrado qualquer é só multiplicar base vezes altura. (b x h)
Exemplo: Um quadrado mede 6 cm de lado. Qual a área desse quadrado.













































Por se tratar de um quadrado todos os seus lados têm a mesma medida, isto é, o lado mede 6 cm e altura também mede 6 cm, logo.
 6 x 6 ou 62  = 36 cm2  Esse quadrado têm 36 cm2 (trinta e seis centímetros quadrado) de área.

Para achar o lado do lado faz-se o processo contrário da potenciação, isto é, extrai-se a raiz quadrada do número dado.

Veja o mesmo exemplo a área do quadrado é de 36 cm
Quanto mede o lado desse quadrado?



Outro exemplo: 
Sabendo que quadrado tem 25 centímetros quadrado. Quanto mede o lado desse quadrado?
Extraindo a raiz de 25.


Símbolos e seus significados



n → índice da raiz. Pode ser qualquer número diferente de 1. Quando se tratar de raiz quadrada o número 2 geralmente não se escreve. 
Exemplo:
raiz quadrada de 4.

a radicando
b → raiz








RESUMO: 
Determinar a raiz quadrada de um número natural é encontrar outro número natural que elevado ao quadrado seja igual a esse número.

Observação: 
Nem todos os números naturais possuem raiz quadrada exata.
Alguns números naturais que são quadrados prefeitos são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169...

20 de out de 2013

INEQUAÇÃO


São sentenças matemáticas que contém um ou mais elementos desconhecidos e representa uma desigualdade.

Exemplos:
a) 3x > 2 1 ------------- é uma inequação pois tem elemento desconhecido e representa uma desigualdade.

b) 1- 4x < x + 2 ---------- é uma inequação pois tem elemento desconhecido e representa uma
                       3
desigualdade.

c) (2 + 10) : (2 + 4) < 2 + 10 : 2 + 4 ------------→é uma desigualdade, mas não é uma inequação, pois não possui elementos desconhecidos.

DESIGUALDADE: ( a<b ) ou (a>b)
Em uma sentença matematica em que se usa (diferente de) é  Se ab, logo a poderá ser a>b ou a<b.

Exemplos:
a) 3+ 7 12----------- a soma de três e sete é diferente de doze: 3+7 < 12

b) 42 32 -------------- o quadrado de quatro é diferente do quadrado de três: 42 > 32  

Assim como nas equações de 1º grau (igualdades), as desigualdades também têm dois membros:
Exemplos:
a)3+7 < 12    
      a        b

 b) 42 > 32
    a        b


PROPRIEDADES DAS DESIGUALDADES

Se a>b e b>c, então a>c               Se a<b e b<c, então a<c

OBS: As propriedades reflexiva e simétrica, não serve para as desigualdades, sendo assim, são consideradas falsas as senteças do tipo:
Se a>a, então a<a
Se a>b, então b>a ou se a<b então b<a.


PRINCÍPIO ADITIVO

Ao adicionar um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, obter-se uma nova desigualdade:  a+b > c   a+b+d >c+d. obter-se uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.

Exemplos:
a) 16 > 14
 16+4 > 14+4
    20    >  18

c) 5 < 8
5+(-9)<8+(-9)
      - 4 < -1

   

PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

Ao multiplicar um mesmo número aos dois membros de uma desigualdade, pelo mesmo número, obter-se uma nova desigualdade:  a+b > c   --  a+b+d> c+d. obter-se uma nova desigualdade de mesmo sentido que a primeira.

 Exemplos:
a)     13  >   4
     13 . 2 > 4 . 2 ------ mesmo sentido
          26 > 8

b)  -5 > - 7
-5 . (+3) > -7 . (+3) ----- mesmo sentido
         -15 > - 21

c)   3 < 8
3 . 5 < 4 . 5 ------- mesmo sentido
   15 < 20

d)  – 4 < - 1
     - 4 . (+3) < - 1 . (+3) ------mesmo sentido 
               -12 < - 3


As desigulades tem o mesmo sentindo daquelas iniciais quando multiplica-se ambos membros por um número positivo qualquer.

Veja o que acontece quando multiplicamos ambos membros da desigualdade por um número negativo qualquer.

Exemplos:
a) 12 > 10
12 . (-1) < 10 . (-1) ------ mesmo sentido
        -12 < -10

b) -6 <- 4
-6 . (-2) > - 4 . (-2) ------- sentido invertido
       +12 > +8

Observação:
Quando multiplica-se por um mesmo número negativo qualquer os dois membros da desigualdade, obtêm se uma nova desigualdade com sentido invertido. Veja o exemplo da letra b.


INEQUAÇÕES DO 1º GRAU COM UMA INCÓGNITA

São inequações do 1º grau quando assume uma das formas: ax > b, ax < b, ax > b, ax < b com a 0.

Exemplos:
a) 5x >1
b) 2y < -10

1.Resolver a inequação: x +15 >21
x +15 >21
x > 21 – 15
x > 6

2.Resolver a inequação: x – 18 < -23
x – 18 < -23
x  < -23 + 18
x  < - 5

3.Resolver a inequação: 17 – x < 30
17 – x < 30
– x < 30 – 17
– x <  13   (-1)
x > -13     ao multiplicar por -1 além de alterar o sinal da incógnita (x) o sinal de <, também mudar.


4.Resolver a inequação: 11 –9x > 2x
11 –9x > 2x
-9x > 2x -11
-9x-2x >  -11
-11x >  -11   (-1)
11x <  11  ao multiplicar por -1 além de alterar o sinal da incógnita (x) o sinal de >, também mudar.
x < 11
     11
x < 1

 5.Resolver a inequação: 8x + 19 < 10x + 11
8x + 19 < 10x + 11
8x - 10x <  11 – 19
- 2x < - 8    (-1)  ao multiplicar por -1 além de alterar o sinal da incógnita (x) o sinal de < , também mudar.
2x >  8
X > 8
      2     
x > 4

18 de out de 2013

Decimal - Exercício respondido


1) Um carro faz, em média  12,5 km com um litro de gasolina. Quanto km terá rodado em média, depois de consumir:
a) 25 litro de gasolina      2 km                                                b) 50 litro de gasolina      4km
    25 : 12,5 = 2                                                                           50 : 12,5 = 4

2) Com 26 metro de tecido, uma costureira fez 8 vestidos iguais. Quantos metros de tecido ela usou em cada um?
26 : 8 = 3,25
Resposta: 3,25 m

3) Maria comprou 25 caixas de leite por R$ 24,00. Quanto custou cada caixa?
Resposta: 24 : 25 = 0,96

4) Um supermercado  comprou para revende 258 kg de feijão e os distribuiu igualmente em 40 sacos. Quantos kg de feijão foram colocados em cada saco?
Resposta: 258 : 40 = 6,45 kg

5)Determine cada quociente e indique se é um número decimal exato ou não exato.
a) 158 : 8 =   19,75 exata                        
 b) 56 :  6= 9,333... não exata                    
c) 62 :  5=  12,4  exata                
d) 149 : 12=  12,4166... não exata

6)Calcule:
a) 15,7 x 2,5 = 39,25                    b) 12,9 x  6,1 =78,69                        c) 0,75 x 100 = 75

7) Resolva as potencias;
a)
(3,1)3  = 29,791                                          
 b) (1,6)4  =  6,5536                                
c)(2,8)5= 172,10368

8) Qual é o valor da expressão: x = (0,5)2 + (0,7)2
(0,5) x (0,5) + (0,7)x (0,7)
0,25 + 0,49 = 0,74
Resposta: 0,74

9)Qual é o número decimal expresso por: 52 – 3 x (4,1 – 1,8 )?
52 – 3 x ( 2,3)
52 – (6,9)
52 – 6,9
45,1
Resposta: 45,1

10) Determine o valor de cada expressão numérica a seguir:
a) (1,2 + 4,8) : 0,24=  25
b) 24,8 : 4 + 45,5 : 5 =  15,3
c) (0,05 : 0,005) : 0,5 = 20


16 de out de 2013

EXERCÍCIOS SOBRE MEDIDAS

1) Um reservatório  contém água até 2/3 de seu volume. O reservatório é em forma de um paralelepípedo retângula com as seguintes dimensões: 2m, 15 dm e 90 cm. Nesse reservatório contém quantos litros de água?

Resposta: 
Em primeiro lugar transformar os valores apresentados para a mesma unidade de medida, nesse caso vou transformar  decímetros:
2 m = 20dm     90 cm = 9 dm      Agora que todas valores tem a mesma unidade de medida, é só multiplicar os três valores:
20dm x 15 dm x 9 dm = 2700 dm, como sabemos que cada 1dm3 = 1i    caixa cheia tem 2700 litros de água, só que o problema diz que a caixa tema apenas  2/3 , então esta
                                                                       
faltando     1/3                       2/3 x  2700  =  1800 litros de água.

2) o volume de 1 litro  é igual ao de um decímetro cúbico. Um cubo de 1metro de aresta tem volume igual ao de.
a) 100 litros      X b) 1 000 litros      c) 10 000 litros      d) 100 000      e) n.d.a

Resposta; 
1 litro  = 1dm isso que dizer o quer? Que de metro para chegar a decímetro pulo uma casa = 10 como é cúbico é só multiplicar 10 x 10 x 10 = 1000. Resposta certa a letra b.

3) Uma caixa d’água em forma de paralelepípedo retângulo tem as seguintes medidas internas: 4m de comprimento, 3m de largura e 2m de altura. A capacidade dessa caixa, em litro é:
a) 12 000           b) 19 400           c) 20 000          X d) 24 000        e) 24 200
Resposta:  
4m x 3m x 2m = 24m3            Como a pergunta é em litros lembrado que        1m3 = 1000dm3 = 1000 litros. Sendo assim é só multiplicar o resultado encontrado acima por 1000
1000 x 24 = 24 000, resposta certa a letra d.

4)Uma piscina tem 10m de comprimento, 8m de largura e 3m de profundidade. Quantos litros de água  são necessários para encher totalmente essa piscina?
Resposta:
 10m x 8m x 3m = 240m3  , lembrado-se que a pergunta esta em litros e a resposta encontrada esta em metros cúbicos, é só multiplicar por 1000.
1000 x 240  =  240 000 litros de água.

5) Quantos litros de água podem ser colocados num recipiente cúbico de 10 cm de aresta?
Resposta: 
10 cm x 10 cm x 10 cm = 1000 cm3    
Como a pergunta esta em litros tenho que transformar em litros esse resultado; lembre-se que 1000 cm3 = 1dm3 = 1 litro
Resposta 1 litro.

6) uma caixa de água com as seguintes medidas 1m de largura, 1,2m de comprimento e 0,80m de altura. Qual a capacidade dessa caixa?
Resposta:
 1 m x 1,2m x 0,80 m = 0,96 m
Lembrando que 1m3 = 1000 dm3 = 1000 litros
Resposta: é só pegar o resultado encontrado em cima e multiplicar por 1000 para transformar em litros.
0,96 x 1000 = 960 litros

7) O volume da caixa-d’água de um prédio  é 105m3. Sabendo que o consumo diário do prédio, em média, corresponde aos 4/5 da capacidade da caixa, calcule quantos litros de água são consumidos, em média, por dia, nesse prédio.
Resposta: 
4 x 105 =  420  =  84
5                5              
84 estar em metros cúbicos, a pergunta é em litros. Então;
84 x 1000 = 84000
 São consumidos em média 84 000 litros de água por dia nesse prédio.   

8)Uma família consome 750ml de suco de laranja em cada refeição. Em uma semana, considerando-se que a família faz 2 refeições diárias, quantos litros de suco serão consumidos? E em duas semanas?
Resposta:  
Considerando que uma semana tem 7 dias: 7 x 750 = 5250
Duas refeições por dia   5250 x 2 = 10500ml
A resposta deve ser dada em litros; lembrando que 1000 ml é equivalente 1 litro então
10500 : 1000 = 10,5 litros
Em uma semana essa família consome 10,5 litros de suco.    E em duas semanas, é só multiplicar esse resultado por 2.              2 x 10,5  =  21
Que é igual a 21 litros de sucos.


6 de out de 2013

EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS

1) Efetue as operações com monômios:
a) a2 + 6a2 – 2a2
b) 5y2 – (- 4y2 + 7y2) + ( - y2 + 9y2- 11y2)
c) ( - 7x) . (-2x)
d) ( -5a4bc3) .( -b2c) . (+4a2c)
e) x7 : x2
f) y5 : y3

Respostas:
a) a2 + 6a2 – 2a2  adicionar –se ou subtrair –se  os coeficientes e repete a parte literal.
(1 + 6 – 2 ) a25a2

b) 5y2 – (- 4y2 + 7y2) + ( - y2 + 9y2- 112)
5y2 – ( 3y2) + ( - 3y2) =
5y2 – 3y2  - 3y2- y2

c) ( - 7x) . (-2x)  multiplica-se  os coeficientes entre si e a parte literal entre si.
( - 7) . (-2)  ( -x ) . (-x)
( +14 ) ( x2) = 14x2

d) ( -5a4bc3) .( -b2c) . (+4a2c)
(-5).(-1) . (4) . ( a4) . ( a2 ) . (b ) . (b2) . ( c3 ) . ( c). (c) =
(20 ) . ( a6 ) . ( b3 ) . ( c5 )= 20a6 b3 c5

e) x7 : x2 repete-se a base e subtrai-se os expoentes:
x7 – 2x5

f) y5 : y3
y5-3y2

2) Efetue as operações com polinômios:
a) (15x -7y + 4z) + (-8y + 3z – 9x)
b) (3x3 – 3x2y + 5xy2 – 6y3 ) + ( 7x2y – 5x3 + y3 – 6xy2)
c) ( x + 7 ) . ( x + 5)
d) (y - 6) . (y + 5)
e) ( -28x4 + 8x2) : ( 4x2)
f)( 6x6 -5x4 + 3x3 – 9x2): ( 3x2)
g) (6x5 + 3x4 – 13x3 – 4x2 + 5x + 3) : ( 3x3 – 2x -1 )


Respostas:
a) (15x -7y + 4z) + (-8y + 3z – 9x)
(15x – 9x ) + ( -7y – 8y )+ ( 4z + 3z) =
(6x ) + ( -15y)+ ( 7z)=
   6x  -15y +  7z

b) (3x3 – 3x2y + 5xy2 – 6y3 ) + ( 7x2y – 5x3 + y3 – 6xy2)
(3x3 –5x3 ) + ( -3x2y+ 7x2y) + ( 5xy2-6xy2 ) + ( -6y3 + y3)=
( –2x3 ) + ( 4x2y) + ( - xy2 ) + ( -5y3 )=
–2x3  +  4x2y  - xy2   -5y3

c) ( x + 7 ) . ( x + 5)
( x . x) + (x . 5) + (7 . x ) + (7 . 5)=
( x2) + (5x) + (7x ) + (35)=
   x2 + 12x  + 35

d) (y - 6) . (y + 5)
(y . y) + (y . 5 ) + ( -6 .y) + (- 6 . 5)
(y2) + ( 5y ) + ( -6 y) + (-30)
(y2) +  5y  -6 y -30
y2  - y -30
e) ( -28x4 + 8x2) : ( 4x2)
  -28x4  +   8x2
  4x2             4x2

    -7x2 + 2






g) (6x5 + 3x4 – 13x3 – 4x2 + 5x + 3) : ( 3x3 – 2x -1 ) 

6x5 + 3x4 – 13x3 – 4x2 + 5x + 3   [3x3 – 2x – 1     
-6x5         +4x3     +2x2                     2x2 + x – 3
         3x4   -9x3  -2x2  + 5x  + 3
       -3x4            + 2x2  + x  
                   -9x3         + 6x  +3
                     9x3          -6x   -  3
                            0