30 de set de 2013


POLINÔMIOS


Expressões algébricas ou literais são toda expressão matemática que apresenta números e letras ou somente letras.
Exemplos:
a) x – y=10
b) 3x + 2y
c) 4x-3

As letras que estão acompanhadas de números ou sozinhas são chamadas de variáveis.

Estudo dos polinômios

 

Monômio é toda expressão representada apenas por números ou apenas por uma letra (variável) ou por um produto entre constantes e variáveis.












Exemplos:
a) 5y               (5 é o coeficiente e y é a parte literal).       
b) 6xyz          ( 6 é o coeficiente e xyz é a parte literal).
c) -17            (coeficiente não tem parte literal).
d) –x             (coeficiente -1, parte literal x).
e) y               (coeficiente 1, parte literal y).
f) 0x              (coeficiente 0, parte literal x monômio nulo).

 


Monômios semelhantes


Os monômios que possuem a mesma parte literal são chamados de monômios semelhantes.
a) 8xy  e -10xy → parte literal xy.
b) -5x2y3  e  x2y3 →parte literal x2y3.

Grau de um monômio


O grau de um monômio pode ser identificado de duas maneiras.
1º pela soma dos expoentes das variáveis.

3x2y4y →(2+4+1) é do 7º grau.
2y6 →é do 6º grau.
8 →é do zero grau.

2º o grau de um monômio pode ser dado em relação a uma de suas  variáveis.
x2y →do 2º grau em relação a x.
x2y →do 1º grau em relação a y.

 


OPERAÇÕES COM MONÔMIOS



ADIÇÃO ALGÉBRICA DE MONÔMIOS

Quando as partes literais são semelhantes soma algebricamente os coeficientes, e repete-se a parte literal.
Exemplos:

a) 6xy +2xy+xy=  9xy 
                          



b) 4yz – yz = 3yz 




c) a2+6a2-2a2

 1+6-2 = 5

    5→repete-se a parta literal ficando assim.

    5a2

d)
    


MULTIPLICAÇÃO DE MONÔMIOS


Multiplicam-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.
Exemplos:



b)  x5.x3 = x8

No exemplo b, aplicando  uma das propriedades de potenciação visto no 7º ano. Em diz que, bases iguais repete-se a base e somam os expoentes.






DIVISÃO DE MONÔMIOS

Divide-se os coeficientes entre si, e as partes literais entre si.

Para a parte literal veja uma das propriedades das potências, (conteúdo visto no 7º ano). Divisão de potência de mesma base, repete-se a base e subtraem os expoentes.

Exemplos:

a)y7 : y3 = y7-3      =  y4


b)(-32x4) : (-8x)
 (-32) : (-8) x4-1    = 4x3

c) 15x6 : 3x2  = 5x4

Observação:

Nem toda divisão de um monômio por outro monômio resulta em um novo monômio. Quando isso acontece e chamado de frações algébricas.

Exemplos:












OPERAÇÕES ALGÉBRICAS COM POLINÔMIOS

Quando efetuamos uma adição algébrica entre monômios, denomina-se polinômio.
Veja os polinômios abaixo:
a) 10x + 2y + 4
b) 5x + 3y
c) 7x – 2y

GRAU DE UM POLINÔMIO

O grau de um polinômio é dado pelo termo de maior grau ou pode ser em relação a uma determinada variável.
Exemplos:
a) x3y    3x4y3  +  8xy2


                          
4º grau   7º grau   3º grau



b) a) x2    3x2y2  +  4xy


                              
2º grau   4º grau   2º grau






ADIÇÃO ALGÉBRICA DE POLINÔMIOS

Para adicionar polinômios é adiciona-los os termos semelhantes.
Exemplos:
a)( x2 -  9x + 5) + (3x2 + 7x -1)

termos semelhantes:
x2 + 3x2; -9x + 7x; 5 – 1


                             
4x2            - 2x          4


Resposta:
4x2 - 2x + 4




b) (15a – 7b + 4c) + ( -8b + 3c – 9a)


     15a – 7b + 4c -8b + 3c – 9a


      15a – 9a -7b – 8b + 4c + 3c


         6a – 15b + 7c




c) (2y2 – 3ay + 4a2) – ( ay – 5y2 –a2)


    2y2 – 3ay + 4a2  ay + 5y2 + a2


    2y2 + 5y2 – 3ay – ay + 4a2 + a2


      7y2  – 4ay  + 5a2



MULTIPLICAÇÃO DE POLINÔMIOS


Multiplicação de um monômio por um polinômio.
Multiplica-se o o monômio por cada um dos termos do polinômio. Usa-se a distributiva, para efetuar as multiplicações veja os exemplos abaixos:
Exemplo:

a) 2x . (3x +y)
    2x . 3x + 2x . y
     6x2 + 2xy


b) 2x.(5x + 4)
    2x . 5x + 2x . 4
    10x2 + 8x




c) 2x . ( x + 4)






MULTIPLICAÇÃO DE UM POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO

Multiplica-se cada termo do primeiro por cada termo do segundo. Usando a distributiva.
Exemplos: 
a) (x + 7) . ( x + 5)

x . x + x . 5 + 7 . x + 7 . 5

                              
x2   +   5x    + 7x   +  35


b) (3x + 2y) . ( 3x – y)












DIVISÃO DE POLINÔMIO POR MONÔMIO

Divide-se cada termo do polinômio pelo monômio.
Exemplos:

a) (-28x4 + 8x2) : (4x2)

(-28x4 : 4x2) + (8x2 : 4x2)

                            
        -7x2         +       2


b) (30y6 – 48y5 – 18y2) : (6y2)






c) (x4y4 + x4y6 – x5y5) : (x4y4)









DIVISÃO DE POLINÔMIO POR OUTRO POLINÔMIO

Exemplos: 
a) Qual o quociente da divisão de: 12x2 + 5x - 2  por 3x + 2?









 b) Qual o quociente da divisão de: 2x4 - 9x3 – 6x2 + 16x - 3 por 2x2 + x –  3?
 
 














PRODUTOS NOTÁVEIS


QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do termo primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo.
Exemplos:

a) (x + y)2

(x + y) . (x + y)

x .x + x.y + y.x + y.y

x2 + xy + xy + y2

x2 +2 xy + y2


b) (3x + 5)2

(3x + 5) . (3x + 5)

3x . 3x + 3x . 5 + 5 . 3x + 5 . 5

9x2 + 15x + 15x + 25

9x2 + 30x + 25


QUADRADO DA DEFERÊNCIA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

a) ( x- y)2

(x – y) . (x – y)

x.x – x.y – y.x + y.y

x2 – xy – xy + y2

x2 – 2xy + y2


b) ( 2x- 3)2

(2x – 3) . (2x – 3)

2x.2x – (2x.3) – 3.2x + 3.3

4x2 – 6xy – 6xy + 32

x2 – 12x + 9



PRODUTO DA SOMA PELA DEFERÊNCIA DE DOIS TERMOS

É igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.


a) (x + y) . (x – y)

x.x – x.y +y.x – y.y

x2 – xy + xy – y2

x2 – y2


b) (3x + 5) . (3x - 5)

3x.3x – 3x.5 + 5.3x – 5.5

9x2 – 15x + 15x – 25

9x2  – 25



CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS

a) (a + b)3

(a + b)2 . (a + b)

(a2 + 2ab + b2). (a + b)

a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


b) (2x + y)3

(2x + y)2 . (2x + y)

(4x2 + 4xy + y2). (2x + y)

8x3 + 8x2y + 2xy2 + 4x2y + 4xy2 + y3

8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

                                   

CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS

a) (a - b)3

(a - b)2 . (a - b)

(a2 - 2ab + b2). (a - b)

a3 - 2a2b + ab2 - a2b + 2ab2 - b3

a3 - 3a2b  + 3ab2 - b3


b) (2x - y)3

(2x - y)2 . (2x - y)

(4x2 - 4xy + y2). (2x - y)

8x3 - 8x2y + 2xy2 - 4x2y + 4xy2 - y3

8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3



FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS


COLOCANDO O FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA

Exemplos:
a) 2x + 2y

2.( x + y) → forma fatorada do polinômio.


b) 6ax + 8ay

2a . (3x + 4y)  → forma fatorada do polinômio.

c) 4a – 3ax

a. (4 – 3x)


d) a2 + 5ab

a.(a + 5b)



FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO

Exemplos:

a) ax + bx + ay + by

x.(a + b) + y.(a + b)

(x + y).(a + b) → forma fatorada


b) a2 + ab + ax + bx







c) 15 + 5y + 2ay + 6ª








FATORANDO MAIS DE UMA VEZ

Exemplos:

a) x 3 – 4x2 + 4x

x3 – 4x2 + 4x =

x . ( x2 – 4x + 4)=






b) 3x2 – 6x + 3
  
 3x2 – 6x + 3 =


 3. ( x2 – 2x + 1)=





c) 5a2 + 30ab + 45b2

5.(a2 + 6ab + 9b2) = 5.(a +3b)2




29 de set de 2013

DIVISIBILIDADE

CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADES


Um número natural qualquer é divisível por outro e o seu resto é zero (nulo), afirmamos que esse número é divisível por esse número. Isto é, a divisão é exata, já que no resto não sobrou número nenhum.


Quando um número é divisível por 2:


Um número natural sempre será divisível por 2 quando terminado em: 0, 2, 4, 6, 8,…, isto é, quando for par. E o resto for igual a zero.
Exemplo1: 10 : 2 = 5                                                                 Exemplo2: 26 : 2 = 13

Dividendo
Divisor
Quociente
Resto
10
2
5
0
26
2
13
0

Exemplos:  48 [ 2                                                 72 [ 2                                      100 [ 2   
                      0    24                                                0    36                                      0      50




Quando um número é divisível por 3



Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3.

Exemplo: 12 é divisível por 3?
Somando 1 + 2 = 3    três é um número divisível por 3, logo 12 é divisível por 3.
12 : 3 = 4
12 [ 3  
   0    4

3624 é divisível por 3?
Somando 3 + 6 + 2 + 4 = 15  quinze é um número divisível por 3, logo o número 3624 é divisível por 3.
3624 [ 3      
    0     1208


Quando um número é divisível por 4


Um número natural é divisível por 4 quando os seus dois últimos algarismos da direita for divisível por 4 ou quando esse número terminar em 00 (dois zeros).

Exemplo1: 5632 é divisível por 4?  Pegando os dois últimos algarismos 32 e dividindo por 4.
32 : 4 = 8,  sim o número 5632 é divisível por 4.

5632[ 4       

32 [ 4     (dividindo os dois últimos números por 4). 
  0      
  
5632[ 4        
    0     1408

O número 5600 é divisível por 4? Como o número termina em dois zeros sim o número 5600 é divisível por 4.

5600[ 4     
   0   1400

 

 Quando um número é divisível por 5



Um número é divisível por 5 quando esse número terminar em 0 ou 5, isto é, qualquer número natural terminado em 5 ou 0 é divisível por 5.
Exemplos:
10 : 5 = 2
25 : 5 = 5
30 : 5 = 6


Quando um número é divisível por 6


Um número natural é divisível por 6 quando for divisível ao mesmo tempo por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
Exemplos:
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4

Logo 12 também é divisível por 6.
12 : 6 = 2

Outro exemplo: 12756 é divisível por 6?

É 2  pois é terminado em um número par. Falta verificar se é por 3.
Somando cada algarismo: 1+2+7+5+6 = 21
21 é divisível por 3. 

logo, o número 12756 é também divisível por 6. Vejamos.
 
12756 [ 6        
    0     2126


Quando um número é divisível por 8


Um número é divisível por 8, quando os três últimos números da direita for divisível por 8, ou quando terminado em 000( três zeros).

Exemplos: 3000 é um número divisível por 8?

Sim, já que o mesmo termina em três zeros.
3000 [ 8   
    0       375

2840 é divisível por 8?

Só quando os três últimos números for divisível por 8.
840 : 8 = 105, logo o número 2840 é divisível por 8. Vejamos.
840 [ 8   
0     105


2840 [ 8     
0      355

Quando um número é divisível por 9


Segue a mesma regra de quando um número divisível por 3. Isto é, Um número natural é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos for um número divisível por 9.

Exemplo:Vejamos se o número 82314 é divisível por 9.

Somando cada algarismo: 8+ 2+3+1+4= 18
18 é um número divisível por 9, logo o número 82314 é divisível por 9.
82314 [ 9   
0      9146

 

Quando um número é divisível por 10


Um número natural é divisível por 10 quando esse termina em 0 (zero).
Exemplos:
10:10 = 1
20:10 = 2
30:10 =3
11500:10 = 1150