30 de dez de 2013

ESTUDO DE RADICAIS

Raiz Enésima de Número Real



n - índice
a - radicando
b - raiz.





 Quando elevamos um número real ao quadrado obter-se a potência desse número. 
Vejamos o exemplo: 92=81
Fazendo o precesso contrário, isto é, extraindo a raiz de 81.
já que vimos que  92=81.


Quando a>0 e n for um número natural par, diferente de zero. A raiz é igual ao número real positivo. Vejamos o exemplo:

Quando a<0  for um número real negativo, e o índice for par, não existe raiz no conjunto dos reais. Não se define raiz quadrada de um número real negativo. Vejamos o exemplo:



→ (+6)2 =(+6).(+6)=+36
→ (−6)2 = (-6).(-6) = +36

Nos dois casos o cálculo deu como resultado um número real positivo. Logo não existe raiz  se o índice for um número natural par e o radicando for um número real negativo. Sendo assim podemos.



Quando o índice (n) for impar, e a>0 ou a<0 nesse caso existe raiz no conjunto dos reais.




Veja outros exemplos de raiz com números negativos e índice ímpar:






PROPRIEDADES






Exemplos:
OBS: Quando o índice do radical for 2, não é necessário escreve, fica a penas assim:












































































A SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS

Extração de fatores do radicando ( extraindo um fator do radicando):


 


































Introduzindo um fator externo no radicando ( coloca um fator externo no radicando). Faz-se o processo contrário do que foi visto acima, isto é, basta escreve dentro do radical o fator externo com expoente igual ao índice do radical. 


21 de dez de 2013

FELIZ NATAL!


É NATAL, UM MENINO NOS FOI DADO, CANTAM OS ANJOS NOS CÉUS:” GLÓRIA A DEUS NO CÉUS E  PAZ NA TERRA AOS HOMENS DE BOA VONTADE”.

E o Verbo se fez carne e habitou entre nós, e vimos sua glória, a glória que o Filho único recebe do seu Pai, cheio de graça e de verdade. (Jo 1, 8)

DESEJO A TODOS UM FELIZ NATAL CHEIO DE PAZ SAÚDE E PROSPERIDADE. 

5 de dez de 2013

Medida de comprimento


O METRO é a unidade básica fundamental na medida de comprimento do SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.
Além do metro temos os seus múltiplos e submúltiplos do metro que são:
MÚLTIPLOS: quilômetro; hectômetro e decâmetro.
SUBMÚLTIPLOS: decímetro; centímetro e milímetro .

OBSERVAÇÃO:
Os prefixos  das palavras: quilômetro; hectômetro e decâmetro  são de origem grega. São utilizados para medida de grandes distâncias.

Kilo - significa mil;
Hecto- significa cem;
Deca – significa dez.

Enquanto que os prefixos das palavras: decímetro; centímetro e milímetro são de origem latim. E são usados para medida de pequenas distâncias.
Deci – significa dez;
Centi – significa centésimo;
Mili – significa milésimo.


TABELA DE MEDIDAS – SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

MÚLTIPLOS DO METRO
SUBMÚTIPLOS DO METRO
quilômetro
hectômetro
decâmetro
METRO
decímetro
centímetro
milímetro
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
1 000 m
100 m
10 m
1 m
0,1 m
0,01 m
0,001 m


TRANSFORMAÇÃO DAS MEDIDAS DE COMPRIMENTO DE UMA UNIDADE PARA OUTRA

Da esquerda para a direita:
Km  x 10  hm  x 10  dam   x 10    m    x 10    dm  x 10   cm  x 10  mm

Da esquerda para a direita multiplica-se por 10 de uma unidade para outra.

Exemplo1: Quanto mede em centímetro 1 metro?
Resposta: Veja que o centímetro (cm) está duas posições a direita do metro ( m). Saindo de metro passando por dm até cm:
1 x (10 x 10) = 100
100 cm.

Exemplo2:  transformar 2,5 km em metros.
Resposta: 2,5 x 1000 = 2500
2500 m


Saindo da direita para a esquerda:
Km    : 10   hm   : 10  dam   : 10    m    : 10   dm   : 10   cm   : 10   mm
Da direita para esquerda divide-se por 10.

Exemplo1:  transformar 547 hectômetros em quilômetros.
Resposta: Veja que quilômetro fica uma posição a esquerda do hectômetro (hm). Devidindo 547 por 10.
547 : 10 = 54,7
54,7 km

Exemplo2:  transformar 4350 m em quilômetro.
Resposta: 4350 : 1000 = 4,350
4,350 km

1 de dez de 2013

EXERCÍCIOS DE TRIGONOMÉTRIA

1) Nos triângulos retângulos abaixo, determine as medidas indicadas.(Use: sen 65° = 0,91, Cos 65° = 0,42 e tg 65° = 2,14).
a) x e y





b) a e c
RESPOSTA:


2) Sabe-se que sen40° = 0,64; cos 40° = 0,77 e tg 40° = 0,84. Nessas condições, determine o valor de x + y, considerando o 
triângulo retângulo abaixo.










RESPOSTA:




























3) Considerando as medidas indicadas no triângulo retângulo abaixo, determine o valor da razão b/a.








RESPOSTA:




























4) Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 50cm, e um do ângulos agudos mede 37°. Calcule as medidas dos catetos desse triângulo. (Use : sem 37° = 0,60, cos 37° = 0,80 e tg 37° =0,75).

RESPOSTA:
Desenhando o triângulo retângulo conforme o enunciado;






Sen 37° 

Sen 37°= x   
                  50    (Sen 37° substituindo por 0,60)
0,60 = x    
             50

x= 0,60 . 50

x= 30 cm

Cos 37° 

cos 37° = y      
                 50              ( cos 37°substituindo por 0.80)
0,80 = y     
            50

y= 0,80 . 50

y= 40 cm

Resposta final x mede 30 cm e y mede 40 cm.



  
5) Considere o Triângulo retângulo ABC da figura abaixo. Nele está assinalado um ângulo a.






De acordo com os dados da figura, calcule o valor númerico das expressõs:




RESPOSTA:





























6) A diagonal de retângulo forma com o maior lado desse retângulo um ângulo de 18°, conforme mostra a figura a seguir. Se a diagonal mede 10 cm, determine o perímetro do retângulo,(Use: sem 18° = 0,31, cos 18° = 0,95 e tg 18° = 0,32.)





RESPOSTA:





























7) Observe a figura abaixo:







Determine a medida:

a) x                           b) y                          c) do segmento AD.

RESPOSTA:




























8) Determine o valor da expressão x + y na figura abaixo.









RESPOSTA:



























9) Gustavo encostrou uma escada numa parede de sua casa de tal modo que o topo da escada focou a altura de 3 m em relação ao chão. Considerando que a escada forma ângulo de 30° com a parede e a distância entre a base da parede e  a base da escada é expressa por (x -1)m, calcule o valor de x.










RESPOSTA:




























10) Imagine um muro vertical e suponha que, em determinado instante, aa luz solar incida sobre o muro com uma inclinação de 60° em relação ao chão. Se a sombra projeta no chão por esse muro, nesse instante, tem 1,2 m de comprimento, qual é a medida da altura desse muro?





RESPOSTA:























(livro Conquista da Matemática 9° ano -pg-277-278)

17 de nov de 2013

O ESTUDO DAS FRAÇÕES


Os números racionais escritos na forma de frações. O número que fica acima da barra é chamado de numerador. O número que fica abaixo da barra, representa em quantas partes esse todo foi dividida. E é chamada de denominador.

1   numerador
2   denominador

Exemplo de uso de fração:
Uma pizza foi cortada em seis fatias. Dessa pizza Carlos tomou dois pedaços. Como representar em forma de fração?
Em forma de fração veja como fica, a parte inteira da pizza dividida em seis pedaços. Carlos tomou tomou dois sexto, isto é, dos seis pedaços ele tomou dois.


A parte que restou da pizza foi quarto sexto

Exemplos com figuras de representações de frações:


A figura foi dividida em duas partes iguais e ler com sendo um meio.
1 
2

A figura foi dividida em quatro partes iguais, três foram pintadas, ler-se Três quarto.


4

COMO SE LER ALGUMAS FRAÇÕES

 um meio
2

um terço
3

um quarto
4


1  um quinto
5

 três décimo
10

Algumas frações em que o denominador é maior que dez, ler-se acrescentando a palavra avos.
Exemplo:
um onze avos
11

    cinco doze avos
12

7    sete treze avos
13

CLASSIFICAÇÃO DAS FRAÇÕES


As frações podem ser classificadas de: próprias, impróprias e aparentes.

Frações próprias – quando o numerador for menor do que o denominado. 
Veja alguns exemplos:

3

2  
9

3    
7

Frações impróprias – quando o numerador for maior do que o denominador.
Exemplos:

3


4


2


Frações aparentes – Quando o numerador for múltiplo do denominador.
Exemplos

2

10 
5


3

Frações equivalentes

Ao multiplicar o numerador e o denominador respectivamente por um mesmo número teremos outra fração equivalente a primeira.
Exemplos: 

2 ao multiplicar o numerador e o denominador por 2. Teremos a seguinte fração equivalente;


4  multiplicando mais uma vez essa nova fração por 2. Teremos a seguinte fração equivalente;


8    multiplicando mais uma vez por 2.

8  
16 

Sendo assim podemos afirmar que as frações acima são todas equivalentes.

Vejamos  outros exemplos de frações equivalentes com figuras:






















































A primeira figura
3  
4

A segunda figura

8

A terceira figura
9   
12


Simplificações de frações ( frações irredutíveis)

Para simplificar uma fração basta dividir ambos os membros (numerador e denominador) pelo máximo divisor comum entre eles.
Exemplo: 


4     simplifique a  fração.

Veja como fica a fração após a simplificação. O número 2 vai ser o número usado para dividir ao mesmo tempo o numerador e o denominador respectivamente.





9  
27    Simplificação a fração. 

 A fração acima pode ser simplificada por 3 ou 9.
Veja como fica feita por 3 e depois por 9.




Agora por 9



OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

Adição de frações

Ao fazer uma adição de frações deve se observar o denominador.

Quando os denominadores são iguais repete o denominador e adiciona os numeradores.
Veja como fica o exemplo, onde as frações têm os mesmos denominadores.




Quando os denominadores são diferentes, igualar-se os denominadores. Tira-se o mmc dos denominadores. Após igualar os denominadores procede-se como no caso acima.





O mmc de 5 e 3 é igual a 15 da fração acima. O denominador da fração acima agora vai ser 15.

1º passo: Se pega o número 15 e divide-se pelo número 5 da primeira fração, o resultado multiplica-se pelo numerador.

15 : 5 = 3 

3 . 2 = 6 novo numerador

2º passo: Se pega o número 15 e divide-se pelo número 3 da primeira fração, o resultado multiplica-se pelo numerador.

15 : 3 = 5
5 . 1 = 5 novo numerador


 3º passo: Como as frações agora têm denominadores iguais repetem-se o denominador como no outro exemplo anterior, e adiciona-se ( soma) os numeradores. Veja como ficou.

 



Subtração de frações

Na subtração procede da mesma maneira que na adição. 
Quando os denominadores são iguais, repete o denominador e subtraem-se os numeradores.
Veja como fica o exemplo com a fração, em que os denominadores são iguais.




Quando os denominadores são diferentes, procura se igualar os denominadores. Tira-se o mmc dos denominadores. Após igualar os denominadores procede-se como no caso acima.




O denominador da nova fração vai ser 9.
1º passo: divide-se 9 pelo 3 da primeira fração e o resultado multiplica-se pelo numerador dessa fração.
9 : 3 = 3
3 x 5 = 15
A mesma coisa faz-se com a segunda fração.
9 : 9 = 1
1 x 1 = 1

A nova fração agora ficou assim:




2º passo: Com os denominadores iguais, repete-se o denominador, efetuando a subtração com os numeradores.





Multiplicação de frações

Para multiplicações de frações, multiplica-se numerador com numerador e denominador com denominador.
Veja os exemplos:







Divisão de frações

Nas divisões de frações procede- se da seguinte maneira:
1º passo: Conserva-se a primeira fração;
2º passo: inverte-se a segunda fração. 
3º passo: Troca-se o sinal da divisão pelo sinal da multiplicação. 
4º passo: efetua a operação como no caso da multiplicação:
Veja o exemplo:







Outros exemplos:












Comparações de frações


Para comparar duas ou mais frações têm que considerar dois casos.
1º caso: quando os denominadores são iguais.
Será maior aquela que tiver o maior numerador.
Exemplos
  











2º caso: frações com denominadores diferentes. Primeiro reduz as frações ao mesmo denominador. E só depois proceder a comparação.
Exemplos:













Fração mista

 Uma fração imprópria pode vir a ser uma fração mista (número misto).
Exemplos:
3

10 
4


2


OBSERVAÇÃO:
Dividir o numerador pelo denominador da fração.















O quociente é a parte inteira da fração seguida pelo resto que fica acima da barra e o divisor que fica abaixo da barra.

A nova fração após  transformar em uma fração mista: