23 de mar de 2017

RAIZ QUADRADA EXATA-EXERCÍCIOS

1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:
a) 100              b)  144              c) 400            d) 900                  e) 441


2)Calcule:
                         







SOLUÇÃO:

Observação: existem várias maneiras de se calcular a raiz quadrada exata de um número. Na resolução do exercícios vamos usar apenas duas. Uma pelo método da fatoração, e o outra é um atalho prático e mais rápido.
1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:

a) 100
















Organizando os dados após a fatoração:

22 . 52     depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:

 Portanto, a raiz quadrada de 100 é 10.




 b)  144














Organizando os dados após a fatoração:

22 . 22 . 32    depois é só retirar do radical, para isso basta eliminar os expoentes e depois resolver a multiplicação para finalizar. Vejamos abaixo:

Portanto, a raiz quadrada de 144 é 12.




c) 400



















d) 900  





















e) 441





















Observação:
Vejamos estes mesmos exercícios usando outra técnica:

1) Determine a raiz quadrada dos números abaixo:
a) 100              b)  144              c) 400            d) 900                  e) 441



Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz de zero. Sabemos que raiz de zero é zero. logo a raiz de 100 é 10.


 

Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 1, que nesse caso é o próprio 1. Calcule a raiz do outro 4 que é 2. logo a raiz de 144 é  12.





Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de zero  que é 0. logo a raiz de 400 é  20.





Elimine o zero que esta no centro, agora calcule a raiz de 9, que nesse caso é o próprio 3. Calcule a raiz de zero  que é 0. logo a raiz de 400 é  30.





Elimine o 4 que esta no centro, agora calcule a raiz de 4, que nesse caso é o próprio 2. Calcule a raiz de 1  que é 1. logo a raiz de 400 é  21.






2)Calcule:
Vamos usar a segunda técnica para encontra a solução:





Elimine o zero. Calcule a raiz de 23.
Sabemos que 23 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 23 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 .
Agora falta  o último número.
Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta.

Organizando:
baixe o 4 e o 2
42
Mais uma vez baixe o 4 e pergunte para o 2 quanto falta para 10. (Veja que para 10 esta faltando 8)
48

A resposta pode ser  42  ou  48.
Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo.

422 = 1764
482 = 2304   ( resposta 48)

Outra maneira de fazer a mesma verificação:
Baixe 4 e multiplique pelo seu consequente, nesse caso é 5.
4 . 5 = 20

Iguale o  23 do radicando com o 20 que você achou e pegunte quem é o maior.

23   >    20

Como 48 é maior vai ser a resposta procurada.

Logo a raiz de 42304 é  48.



        






Elimine o zero. Calcule a raiz de 25  é 5. A raiz quadrada de zero é 0.
Resposta:a raiz quadrada de 2500 é  50.




     






Elimine o 6. Calcule a raiz de 17.
Sabemos que 17 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 17 que tenha raiz exata. 16 é o número mais próximo. E a raiz de 16 é 4 .
Agora falta  o último número.
Sabemos que a raiz de 4 é 2, mas essa pode não ser a resposta.

Vejamos 2 para 10 esta faltando 8.
Sendo assim, a resposta vai ser 42  ou  48.
Para isso é só elevar 42 ao quadrado e 48 ao quadrado e fazer o calculo.

422 = 1764
482 = 2304

A raiz quadrada de 1764 é 42.

4 . 5 =20
17   <    20    quem é o menor ( resposta 42)

 






Elimine o 6. Calcule a raiz de 39.
Sabemos que 39 não possui raiz quadrada exata. Neste caso procuramos um número abaixo do 39 que tenha raiz exata. 36 é o número mais próximo. E a raiz de 36 é 6 .
Agora falta  o último número.
Sabemos que a raiz de 9 é 3, mas essa pode não ser a resposta.

Vejamos 3 para 10 esta faltando 7.
Sendo assim, a resposta vai ser 63  ou  67.
Para isso é só elevar 63 ao quadrado e 67 ao quadrado e fazer o calculo.

632 = 3964
672 = 4489
A raiz quadrada de 3964 é 63.  



6 . 7 = 42

39 < 42   ( quem é o menor, resposta 63).

Esta segunda maneira é mais rápida e prática.

3 de mar de 2017

RAIZ QUADRADA DE NÚMEROS GRANDES


Raiz quadrada de números grandes por agrupamento.
Este método já foi muito usado no passado, hoje quase não se ver o uso dele nas escolas por parte de alguns professores ou por livros didáticos.

Antes vamos lembrar o que seja raiz quadrada. Vamos dizer uma área  tenha 144 metros quadrado, eu quero descobrir quanto mede o lado desse quadrado, para isso eu calculo a raiz quadrada de 144, que nesse caso é 12.


A raiz é um número que multiplicado por ele mesmo é igual ao número que esta dentro do radicando.
Vejamos: 12 . 12 = 144, ou seja, 122 = 144


Vejamos alguns exemplos de raiz quadrada extra.
1=1 pois 1=1
4=2 pois 22=4
9=3 pois 32 =9
16=4 pois 4=16
25=5 pois 52 =25
36 = 6 pois 62=36
49=7 pois 72 =49
64=8 pois 82 =64
81=9 pois 92=81
100=10 pois 102 = 100



Há várias técnicas que pode ser usada para calcular uma raiz quadrada.


1ª Dica:

Fatoração: É a mais usada nas escola.

2ª Dica: 

Por agrupamento: No passado já foi muito usado.

3ª Dica:

Por aproximação, o aluno faz várias tentativas até chegar o resultado.

4ª Dica:

Algo mais recente, tratar-se de um atalho, muito prático.





Por agrupamento

Esse método serve também para calcular raiz quadra não extra. 

Em primeiro lugar vamos agrupar os números da direita para esquerda de dois em dois, o último número pode ficar sozinho não há problema.

Começamos o cálculo pelo o número que ficou na esquerda. 

Procurando a raiz quadrada desse número, o mais próximo possível. Vejamos os exemplos abaixo. 

No exemplo a  o 3 não tem raiz quadrada exata.
O número mais próximo de 3 que elevado ao quadrado é 1.


a) Qual a raiz quadrada de 3045025?










b) Qual a raiz quadrada de 8254129?









  


EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA

Vamos considerar uma circunferência 𝛽, de raio (r) e centro (C) num plano 𝛌,
 C (xc , yc)
xc é o ponto das abscissas no plano cartesiano 
yc é o ponto das ordenadas no plano cartesiano

Vamos ver isso melhor no desenho abaixo.


Do ponto P (x, y) pertencer à circunferência, logo a distância do ponto P até ao centro da circunferência é igual ao raio.

dpc = r, ou seja, o raio da circunferência é calculado pela fórmula.




(x  - xc)2 + (y – yc)2 = r2

 xc e yc são as coordenadas do centro





Exemplos:

a) Sabendo que o raio de uma circunferência mede r = 2 e C ( 3, -1). Qual a equação reduzida dessa circunferência?

A equação reduzida da circunferência é obtida substituindo os valores de r e C na equação reduzida. Vejamos como fica:

(x  - xc)2 + (y – yc)2 = r2

(x  - 3)2 + (y – (-1))2 = 22

(x  - 3)2 + (y + 1)2 = 4



b) Determine a equação reduzida da circunferência cujo raio mede r =3 e C (1, 2):

(x  - xc)2 + (y – yc)2 = r2

(x  - 1)2 + (y – 2)2 = 32

(x  - 1)2 + (y - 2)2 = 9



c) Determine a equação reduzida da circunferência cujo raio mede r =2 e C (0, 0):

(x  - xc)2 + (y – yc)2 = r2

(x  - 0)2 + (y – 0)2 = 22

x2 + y2 = 4



26 de fev de 2017

EXERCÍCIOS EXPONENCIAIS

1) Determine o conjunto verdade:


2) Determine




Respostas:


1)
Equações deste tipo, o aluno antes deve igualar as bases

          fatorando 81 ficou 34
          como as bases estão iguais, agora iguala-se os expoentes



       fatorando 125 ficou 53




 
      fatora o 25 e elimina a fração


    iguala-se os expoentes








2) 

 Multiplicação de frações com bases iguais